§4-1 向量组及其线性组合.ppt

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1、向量组的线性相关性第四章§4-3向量组的秩§4-2向量组的线性相关性§4-1向量组及其线性组合§4-4线性方程组解的结构-2-定义n个数组成的有序数组称为一个n维行向量或n维列向量,其中称为该行(列)向量的第i个分量.行向量与列向量统称为向量.约定:所讨论的向量如无说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示.向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.或§4-1向量组及其线性组合-3-由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组.如:m×n的矩阵A全体列向量是含n个m维列向量的向量组,简称A的列组;全体行向量是含m个n维的行向量组,简称A的行组.再如:解的全体是一个含无穷多个

2、n维列向量的向量组.定义-4-观察下面方程组增广矩阵的行组有如下关系这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.-5-对于向量组,表达式称为向量组A的一个线性组合.又如果是向量组A的一个线性组合,即则称向量可由向量组A线性表示.定义-6-(1)向量可由向量组线性表示存在数使上面方程组有解.即有解学会这种转换就可以了!注意:符号混用(按定义)(转换为方程组)(用矩阵的秩)-7-(2)如果向量组中的每个向量都可由向量组线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示.有解(改写为矩阵)(转换为矩阵方程)(用矩阵的秩)一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系!-8-(3)如果向量组与向量组

3、可以相互表示,则称这两个向量组等价.向量组A与向量组B等价(用矩阵的秩)关于线性表示的三种情况关键是学会转换-9-，向量组A与向量组B等价吗?解:又易知,故等价.例1-10-已知证明(1)能线性表示;(2)不能由线性表示.证如果则与条件矛盾.(2)要证(1)要证例2小结向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b有解向量组B能由向量组A线性表示矩阵方程AX=B有解向量组A与向量组B等价-11-