向量组及其线性组合.ppt

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1、第四章向量组的线性相关性一、向量的概念二、向量组的线性组合第一讲1一、向量的概念定义1n个有次序的数a1,a2,···,an所组n个分量,第i个数ai称为第i个分量.1.向量的定义成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的分量为复数的向量称为复向量。分量全为实数的向量称为实向量，2维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用　　　　　　等表示，如：维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用　　　　等表示，如：2.向量的表示方法或或3注意:１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量就是行矩阵，列向量就是列矩阵.因此，向量之间的相等、加法和数乘也即为矩阵的相等、

2、加法和数乘；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.4二、向量组的线性组合向量组：同维数的列（行）向量所组成的集合.1.向量组就是一个由四个3维列向量1,2,3,4构成的向量组.例如52.矩阵与向量组的关系例如维列向量个有矩阵mnijAanm)(×=.,,,的列向量组称为矩阵向量组AL6向量组,…，称为矩阵A的行向量组．维行向量个又有矩阵类似地nmijAanm)(,×=7反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个mn,,,,nmm21×aaaL矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个nmnmTmTT×,,,21bbbL

3、综上所述,一个矩阵与一个行向量组(或列向量组)一一对应.8定义23.线性组合的定义，对于任何一给定向量组mAaaa,,,:L21向量线性组合称为向量组的一个，，，组实数mkkk,L21.个线性组合的系数9定义3这时称向量能由向量组线性表示．我们很关心b能否由向量组A线性表示，因为如果b能由向量组A线性表示，则我们把b扔掉也没关系，因为由向量组A可把b找回来。则向量b是向量组A的线性组合.，使，，一组数mlll,L21如果存在和向量给定向量组,,,,:bAmaaaL2110例如：因此，可由线性表出.而不能由线性表出.因为不存在使得下式成立：11线性表示，就是要考虑是否有向量能由向量

4、组线性表示的充要条件：存在，使得即判断线性方程组.是否有解条件是矩阵的秩等于矩阵定理1线性表示的充分必要能由向量组向量Ab的秩.12已知判断可否由线性表示?解：所以不能由线性表示.例113设向量能由向量组线性表示，并求出表示式。只需证因此，向量可由向量组线性表示.例2证明：证：14由上述最简形，可得方程的解为：于是，可由表示为其中，c为任意常数.15１.向量、向量组与矩阵之间的联系；２.线性组合与线性表示的概念；3.向量能由向量组线性表示的充要条件.小结:16