167;5二次型及其标准形.ppt

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1、第五节二次型及其标准型二次型及其标准形的概念二次型的表示方法二次型的矩阵及秩化二次型为标准形小结一、二次型及其标准形的概念称为二次型.含有n个变量的二次齐次函数定义1当是实数时，f称为实二次型.当是复数时，f称为复二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法取于是则2．用矩阵表示其中A为对称矩阵.则二次型可记为三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个

2、二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．对称矩阵A称为二次型f的矩阵;f称为对称矩阵A的二次型；对称矩阵A的秩称为二次型f的秩.解例１写出二次型的矩阵.设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．记则上述可逆线性变换可记为代入有证明即为对称矩阵.定义设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使则称A与B合同。定理1任给可逆矩阵C，若A为对称矩阵，则B也为对称矩阵，且有令A为对称矩阵，既有于是说明1.二次型经可逆线性变换后秩不变，但二次型的矩阵由A变为2.要使二次型

3、f经可逆变换变为标准型，就是使也就是使成对角阵.由于对任意的实对称矩阵A，使即把此结论应用于二次型，有定理2任给二次型总有正交变换使f化为标准形其中是f的矩阵A的特征值.总有正交矩阵P,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤1.写出二次型的矩阵A；2.求出A的所有特征值3.求出对应于特征值的特征向量4.将特征向量正交化，单位化，得记5.作正交变换则f的标准形为解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2将二次型通过正交变换化为标准形.从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组当时，解方程得基础解系取当时，解方

4、程得基础解系4．将正交向量组单位化，得正交矩阵令得所以于是所求正交变换为且有解例3求一个正交变换把二次型化为标准形.二次型的矩阵为它的特征多项式为二、三、四行分别减去第一行，得于是A的特征值为解方程当时，得基础解系单位化得解方程当时，得正交的基础解系单位化即得于是正交变换为且有五、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题.2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运

5、算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法——格朗日配方法．曲面.求一正交变换，例4化为标准型，表示何种二次并指出将二次型解二次型的矩阵为则所以A的特征值为对应的特征向量分别为单位化得表示椭圆柱面.所以故正交变换为