线性代数复习课件特征.ppt

《线性代数复习课件特征.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、方阵的特征值与特征向量及相似矩阵向量的内积.特征值与特征向量.方阵的对角化.主要知识1向量的内积定义：(x,y)=∑xiyi.性质范数:

2、

3、x

4、

5、=.正交:(x,y)=0.1.(x,y)=(y,x).2.(x,y)=(x,y).3.(x+y,z)=(x,z)+(y,z).向量的内积2特征值与特征向量特征值与特征向量定义：Ax=x,x≠0求法特征值特征向量相似实对称矩阵隐含的信息性质1.定义法:Ax=x.2.特征多项式法

6、E-A

7、.1.定义法:Ax=x.2.（A-E）x=0的基础解系法.3性质性质不同特征值的特征向量线性无关k重特征值至多有k个线性无关的特征向量4相似相似定义：P

8、-1AP=B可对角化1.A有n个线性无关的特征向量；2.R(A-kE)=n-k,k是A的k重特征值.1.A有n个不同的特征值；2.A是实对称矩阵.应用5实对称矩阵隐含的信息实对称矩阵隐含的信息必可以对角化，且可用正交变换.不同的特征值所对应的特征向量正交.特征值全为实数.k重特征值必有k个线性无关的特征向量.与对角矩阵合同.6二、重要方法1、求特征值与特征向量(1)由特征方程

9、A－λE

10、＝0，求出A的特征值λi（共n个），再解齐次线性方程组(A－λiE)x＝0,其基础解系就是λi所对应的特征向量.（2）用定义法Ax=λx（适用于抽象的矩阵）.2、判断A能否对角化若A是实对称矩阵，则A必能

11、对角化，这是充分条件.对于一般的n阶方阵A，判断步骤如下：(1)由特征方程

12、A－λE

13、＝0，求出A的特征值λ(共n个)，若A的n个特征值各不相同，则A必能对角化.7(2)对于A的k重特征值λk,求秩R(A－λkE)，若其秩等于n－k，则A可对角化.若秩R(A－λkE)≠n－k，则A不可对角化.3、求相似标准形的方法（可对角化的矩阵）(1)求A的全部特征值λ1，λ2，…，λn;(2)对每个特征值λi求(A－λiE)x＝0的基础解系，得出特征值λi所对应特征向量pi;(3)将求得的n个线性无关的特征向量构造可逆矩阵P,令P=(p1,p2,…,pn)则P-1AP=Λ.4、用对角化求An若A能对角化

14、,则求出A的特征值与特征向量,由p-1Ap=Λ得A=PΛP-1,从而An=PΛnP-1.其中，对角矩阵Λ是由A的特征值所构成，可逆矩阵P由相应的特征向量所构成.8三、典型例题1、填空、选择题例1填空题①设4阶方阵A相似于B，且A的特征值为则

15、B-1－E

16、=_______.解因为A~B，所以B的特征值为　　　　　从而B－1的特征值为2，3，4，5，（p124定理3+p122例8，9）因此B-1－E的特征值为1，2，3，4．故

17、B-1－E

18、=1.2.3.4＝24．249②若n阶可逆方阵A的行和为a，则2A-1+3E的一个特征值为解由于A的行和为a，即相当于可见，a为A的一个特征值，于是A-1的一

19、个特征值为a-1，故2A-1+3E的一个特征值为10①设3阶矩阵则A的特征值为[]．(A)1,0,1;(B)1,1,2;(C)－1,1,2;(D)-1,1,1.解用排除法．设A的特征值λ1,λ2,λ3,由于λ1+λ2+λ3=a11+a22+a33=2,故可排除(B)，(D)，又因为λ1.λ2.λ3＝

20、A

21、=－2,所以可排除(A),故选(C)．例2单项选择题C11例2求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为所以A的特征值为12231得基础解系p2(121)T得基础解系p1(001)T对于12解方程(A2E)x0所以kp1(k0)是对应于1

22、2的全部特征向量对于231解方程(AE)x0所以kp2(k0)是对应于231的全部特征向量例4设是方阵A的特征值证明(1)2是A2的特征值证明因为是A的特征值故有p0使App于是(1)A2p2p(Ap)A(p)A(Ap)所以2是A2的特征值因为p0知0有pA1p由App(2)当A可逆时按此例类推不难证明若是A的特征值则k是Ak的特征值()是(A)的特征值(其中()a0a1ann是的多项式(A)a0Ea1AanAn是矩阵A的多项式)例

23、5设3阶矩阵A的特征值为112求

24、A*3A2E

25、因为A的特征值全不为0知A可逆故A*

26、A

27、A1而

28、A

29、1232所以解2A13A2EA*3A2E把上式记作(A)故(A)的特征值为有()2132(1)1(1)3(2)39(1)(3)3于是

30、A*3A2E

31、若是A的特征值则k是Ak的特征值