《线性代数复习》PPT课件

《《线性代数复习》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、线性代数复习本科类授课人：数学学科组狄芳1、行列式本章的重点是注重学会利用行列式的性质及按行(列)展开等基本方法来简化行列式的计算，并掌握两行(列)交换、某行(列)乘数、某行(列)加上另一行(列)的k倍这三类运算。EX1计算EX2k取何值时有非零解2、矩阵矩阵的乘法1、定义若规定m×s矩阵A乘s×n矩阵B得到一个m×n矩阵C，C中的第i行第j列元素cij由矩阵A中第i行的s个元素与矩阵B中第j列的s个元素对应相乘相加得到求(1)AB+BA,(2)A2-BT已知矩阵A=，B=EX1称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：

2、1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；(1)行阶梯形矩阵2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.如几种要关注的矩阵称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：1）行阶梯形矩阵(2)行最简形矩阵2）各非零行的首非零元均为1.3）首非零元所在列其它元素均为０.如把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.(3)转置矩阵定义(4)对称矩阵定义设为阶方阵，若，即，那么称为对称矩阵.如使得A的逆矩阵记作A-1则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，定理A可逆的充要条

3、件是

4、A

5、≠0方阵的逆阵的性质(2)若A可逆数0则A可逆且(A)11A1(3)若A、B为同型可逆矩阵则AB可逆且(AB)1B1A1(4)若A可逆则AT也可逆且(AT)-1=(A-1)T逆矩阵定义下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换线性方程组与其增广矩阵相互对应对方程组的变换对应为对方程组的增广矩阵的初等变换(1)对调两行(列)(2)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去定义如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩

6、阵A与B等价，记作3、矩阵的初等变换用初等行变换法求矩阵的逆此为求逆矩阵的第二种方法，即初等变换法，也是最常用的方法，并且这种方法可以自动判断矩阵的可逆性。(AE)(EA1)另一方法:伴随矩阵法EX1求下面矩阵的逆矩阵利用初等行变换可把矩阵A化为行阶梯形矩阵.利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.所有行等价的矩阵所对应的线性方程组都是同解的其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的而且是最容易求解的在求矩阵和向量组的秩时把矩阵A化为行阶梯形矩阵.在解线性方程组时把矩阵A化为行最简形矩阵.定理矩阵经过

7、初等变换后其秩不变即若A~B则R(A)R(B)求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵其中非零行的行数即是该矩阵的秩定理阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数利用初等变换求矩阵的秩EX2求矩阵的秩极大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩记作RA向量组的极大无关组的定义和等价定义定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩也等于它的行向量组的秩典型例题求矩阵A的列向量组的一个极大无关组并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示方法：对A施行初等行变换变为行最简形矩阵求得R(A)=r可知列向量组的极大

8、无关组含r个向量行最简阵中单位向量所对应的列向量为列向量组的一个极大无关组将A的行最简形矩阵中其余向量用单位向量表示，其表示系数即为所求利用初等变换求向量组的极大无关组EX3利用初等变换求下列向量组的一个极大无关组，并把其余列向量用极大无关组线性表示n个未知数m个方程的线性方程组Axb(1)无解的充分必要条件是R(A)R(Ab)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(Ab)nn元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是R(A)n4

9、、线性方程组的解齐次线性方程组解的结构设12t为方程Ax0的基础解系则方程Ax0的通解为xc11c22ctt(c1c2ctR)定理用初等行变换把n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A化为行最简形，设R(A)=r齐次线性方程组求基础解系的方法从最简形的同解方程组可以解出基础解系,基础解系含有n-r个线性无关的解向量,最后得出通解设12n-r为方程Ax0的基础解系则方程Ax0的通解为xc11c22cn-rn-r(c1c

10、2cn-rR)设mn矩阵A的秩R(A)r则n元齐次线性方程组Ax0的解空间S的秩RSnrEX1求齐次线性方程组的基础解系与通解设*是方程组Axb的一个特解12nr是对应齐次方程组Ax0的基础解系则方程组Axb的通解为xk11k22knrnr*