高数教案第1章.ppt

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1、第一章函数1.1函数的概念1.2函数的简单性质1.3反函数1.4复合函数1.5初等函数1.1函数的概念1.1.1实数的绝对值与不等式根据定义，明显地有并且，当且仅当a=0时，此外，还有设a为任意实数，则定义a的绝对值为从几何图形上来看，就是原点到a点的距离，而则为a、b两点之间的距离。又对于任意两个实数a和b，有解：式1不等式等价于式2解：由及相加由式1即得把这个不等式推广，得式3解：因为，由式2得又因为，故由式2得合并以上结果得由式1得1.1.2变量与常量在研究事物运动的过程中可取不同数值的量。变量：在研究事物

2、运动的过程中数值保持不变的量。常量：在高等数学中，常用各种区间表示变量的取值范围，借助于集合符号将其表示为：开区间闭区间左开右闭区间左闭右开区间无穷区间部分区间在数轴上的表示（）(a,b)以上各区间中a和b称为区间的端点，a称为左端点，b称为右端点。属于区间内而不是端点的点称为内点。（(a,+∞)）(-∞,b)开区间称为点a的δ邻域（或称点a的邻域），记作U(a,δ)，a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径；而对于点a除外的邻域称为去心邻域，记作a()()a1.1.3函数概念设有一变量x，它的取值范围是一数集X，如果

3、在X内所取的每一数值x，根据以确定法则f()，有另一变量y的唯一确定的数值与它相对应，则称y是x的函数，记作定义1称x为自变量，y为因变量。X称为函数f(x)的定义域，记为D(f)，y值构成的数值Y称为函数f(x)的值域，记为R(f)。如果函数的定义域为区间，则称这区间为函数的定义区间。定义2设X和Y是两个数集，f是XY的映射，则称f是定义在X上的函数，记作或此时f的定义域D(f)=X，值域例如，函数，它们的定义区间是；它的定义区间是而函数约定：当不考虑函数中两个变量所表示的实际意义时，函数的定义域将由解析式本身

4、来决定。在函数定义中，重要的是必有一确定法则存在。据此，自变量取定后，函数随着必有唯一的定值，至于法则的内容，是否能用一个公式加以表述，是另一回事，不是函数定义所要求的。例如是一个函数，其中y随x而定的法则，用两个公式分别来说明，这种表达形式的函数常称为分段函数。只要有一条明确的法则，不问其内容、说明方式如何，当自变量在某数集内任取一值时，必有因变量的唯一数值，依据次法则随着而定，那么，这就是一个函数，它的法则常用记号表达。对函数定义域内任何x运用法则，从而获得的，它就是对应于x的y值：，称为x的函数值。不同的法

5、则用不同的符号来表示，例如等等。有时，也用来表示因变量y的对应法则。例1符号函数（也称克罗内克尔函数）：通过它可以表示任何实数x的绝对值：因此起了x的符号作用，故称它为符号函数。例2取整函数：对于任意实数x，对应的y是不超过x的最大整数，记作列出它的几个函数值：例3狄利希莱函数：在讨论函数时除了对应法则之外，还应注意它的定义域。x在X中取值确定的法则对应于x的y值1.1.4隐函数与显函数平面上一条直线的方程是这是一个二元一次方程，其中x及y不能各自独立地取值，为了能满足方程，y当然不能任意取值。这样一个方程表示两

6、个变量间相依而变的关系。若指定x为自变量，y为因变量，则当时，它的对应法则是因而方程确定了函数y，称y是自变量x的隐函数。设有两个变量x、y的方程为如果存在一个函数，将它带入上列方程，得恒等式则称方程定义了y为x的隐函数。如果函数y能够通过自变量x直接表达为形式，则称为显函数。椭圆方程定义了y为x的银行数，它的显函数为或显函数与隐函数没有严格的界限，有时可以从隐函数解出显函数来。但是一般说来，解一个方程并不容易，因此将隐函数化为显函数就有一定困难。1.2函数的简单性质为了使函数的规律性能有直观形象，可对函数作图：

7、应用笛卡尔直角坐标系，以x为横坐标，以对应于x的函数值为纵坐标，作出平面上满足这函数关系的点（x，y），这种点的集合（通常是曲线）构成函数的图形。为了使函数的规律性能有直观形象，可对函数作图：应用笛卡尔直角坐标系，以x为横坐标，以对应于x的函数值为纵坐标，作出平面上满足这函数关系的点（x，y），这种点的集合（通常是曲线）构成函数的图形。函数的几个性质（1）单值性根据函数的定义，在定义区间内函数值是唯一的，这称为函数的单值性。例如，由方程确定的关系式应当分别看作两个函数而每一个都是单值的。函数的单值性，反映到它的图

8、形上是：任何与Oy轴平行的直线，如果与它的图形相交，只能有一个交点。xOxyy（2）奇偶性为偶函数。奇函数的图形对称于原点，偶函数的图形对称于Oy轴。例如：设有函数，它的定义域X对称于原点。如果对任何，恒有，则称为奇函数；如果对于任何，恒有，则称偶函数Oxyyox1奇函数oxyoxyxy–11o（3）单调性设有函数。对任意两点统称为严格单调函数。统称为单调函数。严格单调增