FIR数字滤波器的原理及设计.ppt

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1、第7章FIR数字滤波器的原理及设计FIR数字滤波器是非递归型的线性时不变因果系统，这样的系统的差分方程可以表示为：(7.1)7.1FIR数字滤波器的差分方程、冲激响应、系统函数及其零极点令输入信号x(n)=δ(n)，代入上式，有：(7.2)于是得到：又由(7.2)式可知，当n<0以及n>N-1时，h(n)=0,即这个系统的冲激响应h(n)是有限长度的。将ai=h(i)(i=0,1,…,N-1)代入(7.1)式得到：(7.3)将(7.3)式的两边进行z变换后，可以得到FIR滤波器的系统函数：(7.4)又由(7.4)式有：因此，FIR滤波器的系统函数H(z)的极点都位于z=0处，为N-1阶极

2、点；而N-1个零点由冲激响应h(n)决定，一般来说，可以位于有限z平面的任何位置。由于FIR数字滤波器的极点都集中在单位园内的原点z=0处，与系数h(n)无关，因此FIR滤波器总是稳定的，这是FIR数字系统的一大优点。FIR数字滤波器的频率响应为：(7.5)所谓线性相位滤波器，就是说此滤波器的相位特性，或者说其频率响应H(ejω)的幅角θ(ω)，是频率ω的线性函数。7.2线性相位FIR滤波器7.2.1恒延时滤波数字滤波器的相延时为(7.6)数字滤波器的群延时为(7.7)所谓恒延时滤波就是要求τp(ω)或τg(ω)是不随ω变化的常量。要使τp(ω)与τg(ω)都是不随ω变化的常量，θ(ω)

3、的图象必定是一条过原点的直线，即有：θ(ω)=-τω,τ为一常数(7.8)7.2.2线性相位FIR滤波器满足的条件7.2.2.1要求恒相延时与恒群延时同时成立ωθ(ω)0图7.1时的图象因为故有：（7.9）由(7.8)式和(7.9)式有：利用三角公式，由上式可以得到：（7.10）可以证明，当满足：(7.11)以及0≤n≤N-1(7.12)时，(7.10)式成立。这就是说，如果(7.11)式和(7.12)式满足，便有：θ(ω)=-τω，是ω的线性函数，而且有，即恒相延时与恒群延时同时成立。(7.12)式说明冲激响应h(n)关于中心点偶对称，无论N为偶数还是奇数，对称中心都位于。若只要求群延

4、时τg(ω)为一常数，则相位特性是一条可以不经过原点的直线，即：（7.13）并且有θ0=±π/2（这在下面会给予解释），即有(7.14)7.2.2.2只要求恒群延时成立0ωθ(ω)图7.3时的图象由(7.9)式和(7.14)式可得：利用三角公式，由上式可以得到：（7.15）可以证明，当满足:(7.16)以及0≤n≤N-1(7.17)时，(7.15)式成立。这就是说，如果(7.16)式和(7.17)式满足，便有,是ω的线性函数，而且有τg(ω)=τ，即恒群延时成立。(7.17)式说明冲激响应h(n)关于中心点奇对称，无论N为偶数还是奇数，对称中心都位于。当N为奇数时有。总的来说，当FIR滤

5、波器的冲激响应h(n)偶对称或者奇对称时，此滤波器的相位特性是线性的，而且群延时是恒定的，为τ=。7.2.3线性相位FIR滤波器的特性由冲激响应h(n)为偶对称或者奇对称的对称条件，可以导出线性相位FIR数字滤波器的一些特性。7.2.3.1网络结构根据h(n)的对称性可以简化FIR滤波器的网络结构，详见下面8.3节。7.2.3.2频率响应FIR滤波器的频率响应为:(7.18)如果FIR滤波器是线性相位的，那末h(n)具有对称性，由此可以导出线性相位FIR数字滤波器频率响应的特有形式。1.偶对称，N为奇数此时有h(n)=h(N-1-n)。对(7.18)式分段求和，得到：令，则上式为：其中：

6、(7.20)(7.19)式中求和号部分为实数，故H(ejω)的相位为2.偶对称，N为偶数此时有h(n)=h(N-1-n)。对(7.18)式分段求和，得到：于是得到：(7.21)其中：(7.22)3．奇对称，N为奇数此时有h(n)=-h(N-1-n)。对(7.18)式分段求和，得到：于是得到：(7.23)其中：(7.24)4．奇对称，N为偶数此时有h(n)=-h(N-1-n)。将(7.18)式分段求和，得到：于是得到：(7.25)其中：(7.26)上述四种情况有一个统一的形式，即：(7.27)其中，H(ω)是ω的实函数，是三角函数的线性组合；因此H(ejω)的相位由θ(ω)决定，而θ(ω)

7、是ω的线性函数。当h(n)偶对称时，；当h(n)奇对称时，。现在可以解释为什么7.2.2.2节中的θ0只能够取±π/2了。从上面讨论的第3、4种情况我们看到，只要h(n)是奇对称的，所推导出的频率响应的表达式(7.27)中，必然有；另外，(7.27)式中的H(ω)可能为负数，也就是与模值可能相差-1=e-jπ，因为（π/2）-π=-π/2，所以θ0也可能为–π/2。就是说，θ0只能取±π/2。另外，幅度函数H(ω)是三角函数的线性组