武汉大学齐民友高数上册复习考试.doc

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1、高数上册复习考试2009年12月15日第一章函数与极限一、函数1．认识一些常用函数和初等函数。2．求函数的自然定义域。二、极限1．极限的计算（1）善于恒等化简和极限的四则运算法则（2）常用的计算方法（a）常用极限，，，，（），（），=1（）。（b）一些常用的处理方法(i)分子分母都除以n的最高次幂。例如：=，==(ii)根号差的消除。例如：－=，=(iii)指数函数的极限。=(。(iv)利用指数函数的极限。当=1时，===(v)转化为函数的极限可以用洛必达法则。=(vi)利用两边夹原理。把分别缩小、扩大一点点得简单的、，，使容易求得，则。（c）当用

2、递归式给出时（i）用数学归纳法证明是单调有界的，从而存在；（ii）对的递归式两边取极限得关于的方程，再解出。（d）记得一些等价关系当=0时，～，～，～，～1－～，～，～，～（3）函数极限的计算（a）（2）中常用的计算方法对函数的六种极限都仍然适用。（b）如果已知在x0点连续，则=。（c）记得一些等价关系。（lim表示六种极限之一）当=0时，～，～，～，～1－～，～，～，～（d）（lim表示六种极限之一）当=1时，===（e）利用两边夹原理。把分别缩小、扩大一点点得简单的、，，使容易求得，则。（f）不定式的极限（lim表示六种极限之一）(i)当极限是

3、或型的不定式时，可用洛必达法则：=（洛必达法则可以反复应用，但每次应用都要先检查类型。）(ii)对于0∞型的不定式，先变形，再用洛必达法则。====(iii)对于00、、∞0型的不定式。====(iv)对于∞－∞型的不定式，先计算成一个式子再计算。（g）如果，则。2．极限的证明（1）证明=A的格式证·，（打草稿从不等式解出（必要时将放大一点点得一个简单的，再从解出））（*）取。当时，（由正确推出（一般是（*）的倒推））故=A。证明=A的格式证·，（打草稿从不等式解出（必要时将放大一点点得一个简单的，再从解出））（*）取。当时，（由正确推出（一般是（

4、*）的倒推））故=A。（其它类型极限的证明格式完全类似。）（2）证明存在但不管它是什么。用数学归纳法证明单调并且有界，再根据单调有界原理得出结论。三、连续性和间断点1．在点连续要证明在点连续就是要证明；如果是分段点，则要证明。2．间断点。（1）找间断点如果在的两边都有定义但没有定义，则是的间断点；分段函数的分段点可能是它的间断点。（2）间断点分类（a）如果是的间断点并且和都存在，则是第一类间断点。（b）如果或至少有一个不存在，则是第二类间断点。（c）如果存在（即都存在），但没有定义或，则是可除间断点。重新定义可使变成连续点。3．闭区间上连续函数的性

5、质（1）零点存在定理。（2）介值定理。（3）最值定理。第一章导数与微分一、导数的计算1．用定义计算导数当要求导的函数不是初等函数时，比如分段函数的分段点或函数没有具体表示式时，直接用定义计算它在点的导数。2．用求导公式计算导数当要求导的函数是初等函数时，用求导公式和复合函数求导法求导数。要记熟用熟相关公式。3．复合函数求导（1）一次复合如果，则（2）多次复合如果，则更多层次的复合函数的求导方法类推。1．隐函数求导（1）一阶导数的求导步骤：（a）把看成的函数时，是一个恒等式；（b）用复合函数求导方法对恒等式两边对求导（求导时记得中有）得新的恒等式；（

6、c）从解出=。（2）要求二阶导数时，有两种方法：（a）用复合函数求导方法恒等式两边对求导（求导时记得和中都有）得新的恒等式，再从解出=，最后代入=得=。（b）用复合函数求导方法恒等式=两边对求导（求导时记得中有）得=，最后代入=得=。更高阶导数的求导方法类推。2．参数表示的函数求导（1）表示的函数在点的一阶导数（2）要求二阶导数时，可对表示的函数再次求导：更高阶导数的求导方法类推。1．对数求导法）二、高阶导数1．常用函数的高阶导数其中。2．莱布尼茨公式与二项式公式完全类似。特别注意：当是低次多项式时，公式中的项数很少，非常简单。三、微分的计算1．函

7、数在点的微分2．当复合函数时，微分公式也是3．，否则不可微。四、可导、可微、连续的关系可导可微连续但连续的函数不一定可导、可微。例如：y=

8、x

9、，x=0点。第一章微分中值定理与导数的应用一、导数的意义是曲线在点切线的斜率；如果是路程函数，则是在时间时的速度；如果是速度函数，则是在时间时的加速度。二、中值定理1．费马定理如果是的极值点，并且存在，则=0，即是驻点。费马定理是中值定理的基础。2．罗尔定理条件：结论：至少存在一点使得=0。罗尔定理的三个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：；=；=。3．拉格朗日中值定理条件：结论：至少存在一点使得=

10、。拉格朗日中值定理的两个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：；=。如果在内可导，，则存在使得其中是的分比。这就是有