3-3&4协方差相关系数及其它特征.ppt

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1、主要内容（1.5学时）一、协方差(重点)二、相关系数（重点）三、不相关与独立的关系（重点）四、随机变量的另几个数字特征第三节协方差与相关系数第四节随机变量另几个数字特征一、协方差（重点）1、引入背景二维随机变量(X,Y)的相互关系如何描述？n维变量间的关系举例：（1）不同地区气温间的关系；（2）人的身高、体重间的关系；（3）不同股票收益率间的关系；（4）公司经营业绩与资本结构间的关系。(X,Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差⑴协方差为X,Y离差[X-E(X)]与[Y-E(Y)]乘积的数学期望(3)当X，Y相同时，Cov(X,X

2、)=D(X)=Var(X).2、协方差的定义说明：(2)Cov(X,Y)>0，正相关；Cov(X,Y)<0,负相关。=0，不相关(4)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(2)对称性：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数3、协方差的主要性质⑴Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(最常用计算方法)(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)(6)若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.不相关证:(1)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)

3、][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(3)Cov(aX,bY)=E{[aX-E(aX)][bY-E(bY)]}=abcov(X,Y)=E{ab[X-E(X)][Y-E(Y)]}(4)Cov(X1+X2,Y)=E{[X1+X2-E(X1+X2)][Y-E(Y)]}=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)=E{[X1-E(X1)][Y-E(Y)]}+E{[X2-E(X2)][Y-E(Y)]}}(6)X与Y独立E(XY)=E(X)E(Y)Cov(X,Y)=0.二

4、、相关系数（重点）1、相关系数的定义说明：(2)相关系数无量纲，消除了量纲不同对相关程度的影响(3)与Cov(X,Y)同号。>0,正相关；<0,负相关；=0,不相关2、相关系数的性质结论：0≤D(Y-tX)=t2D(X)-2tCov(X,Y)+D(Y)令，则上式为D(Y-tX)=证1:(1)根据方差的性质，对于任意实数t（判别式法）三、不相关与独立的关系（重点）1、若X与Y独立，则X与Y不相关。X与Y独立，Cov(X,Y)=02、X与Y不相关,X与Y不一定独立。反例：见下页3、(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相

5、关即对正态分布来说，独立与不相关等价。反例（P89-例2）设(X,Y)的分布律如下,问X、Y是否独立?XY-101P{X=i}-1010¼0¼0¼0¼0¼½¼P{Y=j}¼½¼1从而COV(X,Y)=0,不相关P{X=-1}P{Y=0}=1/8P{X=-1,Y=0}X,Y不独立。课堂练习XY-101-1011/81/81/81/801/81/81/81/8X-101P3/82/83/8Y-101P3/82/83/8P{X=-1}P{Y=0}=6/64P{X=-1,Y=0}X,Y不独立。X,Y不相关四、随机变量的另几个数字特征数学期

6、望E(X)：一阶原点矩方差D(X)：二阶中心矩协方差Cov(X，Y)：二阶混合中心矩1、矩和中心矩2、变异系数说明：1、定义背景：(1)比较不同量纲随机变量的波动幅度，方差并不合理；(2)相同量纲的随机变量，仅用方差比较波幅也不准确(大小)解:D(X)>D(Y)，并不表明X的波幅比Y大(取值大小差异悬殊)例4X表示某种同龄树的高度(单位：米)，Y表示某年龄儿童的身高（单位：米）。比较随机变量X、Y的波幅大小。其中E(X)=10，D(X)=1,E(Y)=1,D(Y)=0.04。3、分位数（重点）说明：背景：数理统计、计量经济学、统计学中大量

7、使用。本节重点总结1、协方差、相关系数的定义、性质及计算。2、不相关与独立间的关系。3、分位数的定义。