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《平面向量的数量积及平面向量应用举例.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.两个向量的夹角(1)定义和范围(2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件[思考探究1]在△ABC中，设＝a，＝b，则a与b的夹角为∠ABC吗？提示：不是.求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.2.平面向量的数量积
2、3.与平面向量的数量积有关的结论已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)[思考探究2]若a∥b，则a与b的数量积有何特点？提示：若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°，∴a·b＝
3、a
4、
5、b
6、或a·b＝－
7、a
8、
9、b
10、.1.已知a＝(1，－2)，b＝(5,8)，c＝(2,3)，则a·(b·c)＝()A.34B.(34，－68)C.－68D.(－34,68)解析：a·(b·c)＝(1，－2)×(5×2＋8×3)＝(34，－68).答案：B2.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，
11、b
12、＝1，则
13、a＋2b
14、＝()A.B.C.4D.12解析：∵
15、a
16、＝2
17、，∴
18、a＋2b
19、2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，∴
20、a＋2b
21、＝.答案：B3.已知
22、a
23、＝1，
24、b
25、＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角是()A.30°B.45°C.90°D.135°解析：设向量a与b的夹角为θ，由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即
26、a
27、2－a·b＝0，∴
28、a
29、
30、b
31、cosθ＝
32、a
33、2，∴cosθ＝∴θ＝45°.答案：B4.已知向量a＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量a在b方向上的投影为.解析：∵a·b＝
34、a
35、
36、b
37、cos〈a，b〉，∴
38、a
39、cos〈a，b〉＝答案
40、：5.若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则
41、a
42、＝.解析：∵(a－b)2＝3，∴
43、a
44、2＋
45、b
46、2－2a·b＝3，∴
47、a
48、2＋2－4＝3，∴
49、a
50、2＝5，∴
51、a
52、＝.答案：1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝
53、a
54、·
55、b
56、cosθ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)
57、a
58、2＝a2＝a·a；(2)
59、a±b
60、2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.已知
61、a
62、＝3，
63、b
64、＝4，
65、a与b的夹角为，求：(1)(3a－2b)·(a－2b)；(2)
66、a＋b
67、.[思路点拨][课堂笔记](1)a·b＝
68、a
69、·
70、b
71、·cos＝3×4×(－)＝－6.a2＝32＝9，b2＝16.∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2＝3×9－8×(－6)＋64＝91＋48.(2)
72、a＋b
73、2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－6)＋16＝25－12.∴
74、a＋b
75、＝若将例题已知条件改为“已知a＝(3，－4)，b＝(2,1)”，试解决上述问题.解：(1)∵a＝(3，－4)，b＝(2,1)，∴3a－2b＝(9，－12)－(4,2)＝(5，
76、－14)，a－2b＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6).∴(3a－2b)·(a－2b)＝(5，－14)·(－1，－6)＝5×(－1)＋(－14)×(－6)＝－5＋84＝79.(2)∵a＋b＝(3，－4)＋(2,1)＝(5，－3)，∴
77、a＋b
78、＝已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ，则(1)a·b＞0⇔0°＜θ＜90°；(2)a·b＝0⇔θ＝90°；(3)a·b＜0⇔90°＜θ＜180°.[特别警示]在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线.已知
79、a
80、＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：(1)a与b的夹角；(2)
81、a－b与a＋b的夹角的余弦值.[思路点拨][课堂笔记](1)∵(a－b)·(a＋b)＝，∴
82、a
83、2－
84、b
85、2＝，又∵
86、a
87、＝1，∴
88、b
89、＝设a与b的夹角为θ，则cosθ∴θ＝45°.(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×∴
90、a－b
91、＝.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×∴
92、a＋b
93、＝，设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0).2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.已知平
94、面内A、B、C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝
