空间向量在立体几何中的应用.doc

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1、金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com空间向量在立体几何中的应用教学目标：1运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论2本节知识是代数化方法研究几何问题的基础，向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量（非零）垂直数量积为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向

2、量的射影、平面的法向量，可求点面距、线面角、异面直线的距离等夹角公式：．例题：例1、棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P（0，0，z），=（－a，0，z），=（－a，a，0），=（a，a，a），∵B1D⊥面PAC，∴·=0，·=0∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC例2、在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=（1）求

3、证：SC⊥BC；（2）求SC与AB所成角的余弦值解法一：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），∴=（2，，－2），=（－2，，0）（1）∵·=0，∴SC⊥BC（2）设SC与AB所成的角为α，∵=（0，，0），·=4，

4、

5、

6、

7、=4，∴cosα=，即为所求解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC（2）如图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于

8、点D，连结SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD==第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com=5，∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求点评：本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形例3、如图，直棱柱ABC—A1B1

9、C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点（1）求的长；（2）求cos〈，〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M（1）解：如图建立坐标系，依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），∴｜｜==（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），∴=（1，－1，2），=（0，1，2），∴·=3，｜｜=，｜｜=∴cos〈，〉==（3）证明：∵C1（0，0，2），M（，，2），∴=（－1，1，－2），=（，，0），∴·

10、=0，∴A1B⊥C1M例4、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明面AED⊥面A1D1F解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）（1）∵·=（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F（2）∵·=（0，2，1）·（0，1，－2）=0，∴AE⊥D1F，即AE与D

11、1F成90°角（3）∵·=（2，2，1）·（0，1，－2）=0，∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F点评：①通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了②本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握第9页共9页金太阳

12、新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点例5、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为a建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系