超奇性沿曲线Hilbert变换的有界性.pdf

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1、摘要AbStract目录第一章沿曲线超奇性Hi1bert变换1．1Hi1bert变换1．2沿曲线Hi1bert变换1．3沿曲线的超奇性Hilbert变换1．4双线性震荡积分第二章高维沿曲线的超奇性Hilbert变换第三章模空间上的超奇性Hi1bert变换3．1模空间及其基本性质3．2模空间上超奇性Hi1bert变换参考文献致谢23457¨M”加勉¨有界性．超奇性Hilbert变换在函数空间中的有界性的研究是调和分析中十分谭跃和热门的话题．沿曲线超奇性Hilbert变换是近年来非常多数学家研究的一类重要柔妻告先从变换出发，探葛了沿曲线变换＼删本文首先从变换出发，探讨了沿曲线变换l灿

2、洲Ⅲ哪帆叭㈣0lⅢ!!

3、Ir)=肌I-F(、xq))dt，．HiIbertHilbertHf(xPf(x’进而对本文的着重介绍的沿曲线超奇性积分变换肜(垆∥．』1厂(x-V(O)t并心>0)，V慨炉∥．弘1-，，H∽弦_jj巾“斋rM堋，H邓似，y)叩V．Jm-，，y—y(，)弦1”r’寿，(口，胗o)，一l。在低维与高维的欧式空间已经得到的最新成果进行总结，并将结论推广到模空间．关键词：沿曲线Hilbert变换；超奇性积分算子；模空间；有界性AbstractlhlSpaperlsasUillIllarYreportw}lichiSfocl．1SedOilnltrodUCingt

4、heboundednesSofhyperSingularHilberttransformalongcurvesinfunctionSpace．AsweknowthattheboundednesSof8ingularintegra1operatorSiSaveryhottopiCinHarmonicarialysiS：hyperSingularintegraloperatotslSoneolthe1mportantoperatorswhichmanySCicntiStSStudy．FirstlY，wecomefromthenilbertttansform，thendiSCUSsth

5、eHilberttFansformalongcuryesHr厂(x)=p．V．量厂(x—r(x))号!WedisplaythenewworkabouthyperSingularintegraloperatorsalongcarvesinlowandhighEuclideanSpacesHf(x)=p．v．iIf(x-F(t1”者l，(钞0)，‘l比加∥)_口”～，f(x-t,y-y∽矿““叫寿，(∞胗0)，～】』JlAtlast，weputanextensiontomodulationspaces．Keywords：Hilberttransformalongcurvcs，hype

6、rsingularintegraloperatorS；modulationspaces：boundednesS第一章沿曲线超奇性Hilbert变换1．1Hilbert变换Hilbert变换起源于Hilbert在1905年对Riemann—Hilbert问题所做的研究．Hilbert主要对定义在环上的函数的Hilbert变换进行研究，他的早期研究在于离散的Hilbert变换，参考文献【1】．数学家Schur改进了Hilbert的结论，将离散的Hilbert变换推广到积分意义下，参考文献[1]．在1928年，MarcelRiesz证明了Hilbert算子在LrfP>1)空间里的有界性

7、参考文献[2】．Hi／bert变换是奇异积分算子的特例，在现代调和分析中扮演着重要作用．对于Hilbert变换有许多推广，例如双线性以及三线性Hilbert变换，依旧是当今研究的热门领域．定义1．1．1定义如下式子可(z)：一1p．v．1上厂(y)dy7／-oX—V是关于函数厂的Hilbert变换，其中．厂∈s(R)，上式中的积分是个柯西主值，可以把f∈s(R)下定义的Hilbert变换推广到∥(月)上具体参考文献[3]．定理1．1．1(【3])对于f∈s(R)，有以下结论(1)H是弱(1，1)的，即{xeRIHf(工)l>五)陶硎(2)H是强(P，P)的，1

8、ll，≤钏州，．1．2沿曲线Hilbert变换Hiibert变换的推广之一是沿曲线Hilbert变换定义1．2．1沿曲线的Hilbert变换记为¨(班∥．了似_r(瑚孚，(xeR“)，(1)其中r(t)是R”中的一条满足某些条件的曲线．和Zygmund的旋转法；相关细节请查阅参考文献【4]．通过旋转法，许多奇异积分算子可以表示成Hilbett算子，例如(1)Calderon—zygmund齐次型奇异积分聪似加∥p训警方2j1。』吣坶．∽(州吣，)，其中Q是奇函数，H一(／)是径向