沿复合曲线的粗糙核参数型Marcinkiewicz积分算子的有界性.pdf

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1、毪数学物理学报2014，34A(4)：10261039http：／／actams．wipm．aC．cn沿复合曲线的粗糙核参数型Marcinkiewicz积分算子的有界性木刘风伍火熊张代清(厦门大学数学科学学院厦门361005)摘要：研究沿复合曲线的粗糙核参数型Marcinkiewicz积分算子，在积分核满足相当弱的尺寸条件下，建立了这些算子的有界性．作为应用，相应于面积积分和Littlewood—Paley一函数的参数型Marcinkiewicz积分算子的￡有界性也被给出．关键词：参数型Marcinkiewicz积分；复合映射；粗糙核；Fourier变换估计．MR

2、(2000)主题分类：42B15；42B20；42B25中图分类号：0174．2文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)04—1026—141引言设S一是札维欧氏空间(礼2)上的单位球面，d是s一上的面积元．是n上的零次齐次函数，【2∈L(S一)且Q()d(z)=0f1．1)对于多项式映射P=(，⋯，)：一(d1)，其中(J：1，⋯，d)是腿上的实值多项式，定义相应的Marcinkiewicz积分Mf2，P为／f【2，P(．厂)()：，f∈(d)，(1．2)P())当d=礼，P()=(Yl，⋯，Y)时，算子MQP即为经典的Marcinkiewicz积

3、分，记为Mn【2的Lp有界性及其推广已经得到了广泛的研究，参看文献f2，8-9，11，13，19，22，261等．收稿日期：2012—12—24；修订日期2014—03—10E—mail：liufeng860314@163．corn；huoxwu@xmu．edu．cn；zhangdaiqing2O11@163corn基金项目：国家自然科学基金(Gl1071200，11371295)和福建省自然科学基金(2010J01013)资助通讯作者No．4刘风等：沿复合曲线的粗糙核参数型Marcinkiewicz积分算子的有界性1027特别地，文献[9，13]分别证明：对于>

4、1，Q∈(s一)，当29／(29—1)o．应当指出函数类(sn-1)最早由walsh在文献[22]中引入．随后，Grafakos和Stefanov[在研究粗糙核奇异积分算子的有界性时作了进一步研究，他们证明：当0<92<时，(sn一)。(s一)，且对于任意的>0，ULq(S)(sn-1)；进一步地q>1此外，类似于文献[25，命题1]的证明，不难验证L(1og+)／(s～)2"1／2(一)及n(s一)L(1og+)1

5、／2(s一)．(1．3)~>1／22005年，本文第二作者在文献[2324]中分别改进文献【9，13]的结果到如下情形：>1／2，1+1／(2)0，Q∈L(S一)．如果s，mup)，llPl=1sn一吣)J(＼1og+Il／、)。。．(1．4)P~V(nJm){lIPll=1贝0称【2∈．(n，m，)．需要指出的

6、是条件(1．4)由A1．Salman等在文献【1，6]中研究奇异积分算子的L有界性时引入．显然(n，1，)=(sn一)．进一步地，A1一Salman和Pan[。]指出()=n(2，m，)．(1．5)"：12001年，A1Qassem和A1一Salman[](也可参看文献[13])证明了如下结果．定理1．2[1,13]设礼2，d∈N，=(P1，⋯，Pd)，：一(1Jd)是多项式．若满足(1．1)式且对>1，Q∈n(几，8，)．则当P∈(29／(29—1)，29)时，M【2，P在()上有界，并且算子范数I】，P与{)d仁l的系数无关．特别地，当n=2，满足(1．1)式

7、且对>1，Q∈(s)时，算子Mn，P在()上有界，其中P∈(29／(29—1)，2)，算子范数IIM，PI1p1与{}：1的系数无关．1028数学物理学报Vo1．34A比较定理1．2与文献【2324]中的结果，再结合(1．5)式，一个自然的问题是：对于>1／2o。【2∈n(n，s，)，当1+1／(2Z)

8、I／0I，