三次函数专题—全解全析.doc

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1、微信公众号：中学数学研习第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。证明：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。可见，y＝f(x)图象的对称

2、中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数微信公众号：中学数学研习在和上单调递增，在上单调递减。此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点

3、问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。当时，三次函数在上的极值点要么有两个。当时，三次函数在上不存在极值点。5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1.三次函数与导数例题例1.函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群339444963（ⅱ）当且，时，有两个根：，微信公众号：中学

4、数学研习若，则,当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时,,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例2.设函数，其中。（1）讨论在其定义域上的单调性；（1）当时，求取得最大值和最小值时的的值.（Ⅰ）的定义域为，令，得所以当或时，；当时，，故在内单调递减，在内单调递增（Ⅱ）因为，所以（ⅰ）当时，，由（Ⅰ）知，在[0，1]上单调递增，微信公众号：中学数学研习所以在和处分别取得最小值和最大值（ⅱ）当时，，由（Ⅰ）知，在[0，]上单调递增，

5、在[，1]上单调递减，因此在处取得最大值又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小值；当时，在处取得最小值。例3.已知函数来自QQ群339444963（1）求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围解：（Ⅰ）由已知，有令，解得或当变化时，的变化情况如下表：0-0+0-0所以，的单调递增区间是；单调递减区间是，，当时，有极小值，且极小值；微信公众号：中学数学研习当时，有极大值，且极大值（Ⅱ）解：由及（Ⅰ）知，当时，；当时，设集合，集合，则“对于任意的，都存在，使得”等价于，显然，.下面分三种情况讨论：（1）当，即时，由可知，，而，所以不是的子集

6、。（2）当，即时，有，且此时在上单调递减，故，因而；由，有在上的取值范围包含，则所以，（3）当，即时，有，且此时在上单调递减，故，所以不是的子集。综上，的取值范围是2.三次函数与导数---课后练习题1.设.(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围；(2)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.微信公众号：中学数学研习1.解：（1）已知，，函数在上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分（2）已知,在上取到最小值，而的图像开口向下，且对轴轴为，则必有一点使得此时函数在上单调递增，在上单调递减，，，此时，由，，所以函数2．已知函数，．（1）讨论函数的单调区间；（2

7、）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．2．解：（1）求导：当时，，，在上递增当，求得两根为微信公众号：中学数学研习即在递增，递减，递增（2），且解得：3.设函数（Ⅰ）当求曲线处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；【解析】解：（1）w.s当所以曲线处的切线斜率为1.（2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设，微信公众号：中学数学研习所以方程=0由两个相异的实根，故，