几何与代数_lec25-二次型的标准形和规范形.ppt

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1、几何与代数主讲:关秀翠东南大学数学系2010年国家级精品课程教学内容和学时分配教学内容学时数§6.1二次型4§6.2空间中的曲面与曲线2§6.3二次曲面2§6.4用Matlab解题第六章二次型与二次曲面问题式预习及思考题思考题：请用正交变换确定下面两个方程所确定的曲线类型：1.2.1.化实二次型的一般型为标准型的配方法与正交变换法的相同点和不同点有哪些？2.惯性定理的几何含义是什么？3.合同关系下的不变量和最简形是什么?用正交变换确定曲线的类型原式左表示一条双曲线。用正交变换确定曲线的类型为两条直线。§6.1二次型第六章二次型与二次曲面f(x)=xTAxx=Py,P可逆实二次型标准形可

2、逆线性变换寻求可逆矩阵P,使得PTAP=AT=A实二次型标准形正交变换实对称阵的正交相似对角化问题正交变换下的标准形f=1y12+2y22+…+nyn2用正交变换法化实二次型为标准形,无论在理论上还是在实际应用中都是很重要的一种方法.如果不要求给出变换,只想得到标准形,用这种方法特别方便.如果要得到变换公式利用这种方法计算起来就比较繁,而且只适应于实二次型.下面介绍更加简便且对所有二次型都适用的配方法.实二次型标准形可逆线性变换三.用配方法化实二次型为标准形例2.用配方法化f=4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形.解:f=4x12+3x22+3x32+2x2x3令

3、则f=4y12+3y22+(8/3)y32.可逆线性变换为x=P1y其中y=x=Px.10001001/3110001001/31即x=y§6.1二次型第六章二次型与二次曲面例3.用配方法化f=x123x222x1x26x2x3+2x1x3为标准形,并求所用的可逆线性变换.解:f=x123x222x1x26x2x3+2x1x3=[x122x1(x2x3)+(x2x3)2](x2x3)23x226x2x3=(x1x2+x3)24x224x2x3x32所用的可逆线性变换为=(x1x2+x3)2(2x2+x3)2=y12y22其中y=x.1001

4、20111x=y.1001/21/203/21/21§6.1二次型第六章二次型与二次曲面例4.用配方法化f=2x1x2+2x1x3–6x2x3为标准形.并求所用的变换矩阵.解:先配x1.令x1=y1+y2,x2=y1–y2,x3=y3.则f=2y12–2y22–4y1y3+8y2y3.配方得f=2(y1–y3)2–2y32–2y22+8y2y3=2(y1–y3)2–2(y2–2y3)2+6y32.令z1=y1–y3,z2=y2–2y3,z3=y3,则f=2z12–2z22+6z32.可逆线性变换x=P1P21z,可逆线性变换矩阵为x=y=P1y,110110001z=y=P2

5、y.100010121§6.1二次型第六章二次型与二次曲面例4.用配方法化f=2x1x2+2x1x3–6x2x3为标准形.并求所用的变换矩阵.

6、E–A

7、=(–3)[+(3+)][+(3)].12171712若用正交变换法化f为标准形非常麻烦.但由此可见f可化为标准形f=3y12(3+)y22+(3)y32.12171712011103130,f(x1,x2,x3)的矩阵A=分析:f=2z12–2z22+6z32.§6.1二次型第六章二次型与二次曲面得到f=2x1x2+2x1x3–6x2x3两种不同的标准形:f=3y12(3+)y22+(3)y321217171

8、2f=2z12–2z22+6z32正交变换得到的实二次型的标准形:可逆线性变换得到的实二次型的标准形:对角线元素是实对称阵的特征值;对角线元素不一定是实对称阵的特征值,且标准形在不计特征值顺序时是唯一的.也不唯一.正交变换法：配方法(可逆线性变换)：正交变换与一般可逆变换得标准形的不同点：§6.1二次型第六章二次型与二次曲面得到f=2x1x2+2x1x3–6x2x3两种不同的标准形:f=3y12(3+)y22+(3)y3212171712f=2z12–2z22+6z32正交变换法：配方法(可逆线性变换)：正交变换与一般可逆变换得标准形的相同点：标准形的相同点：平方项中非零项的个数相

9、同平方项中正(负)项的个数相同正交变换得到的实二次型的标准形:对角线元素是实对称阵的特征值;且标准形在不计特征值顺序时是唯一的.§6.1二次型第六章二次型与二次曲面四.惯性定理定理6.3.实二次型f(x)=xTAx总可以通过Rn中的可逆线性变换将其化为标准形f=k1y12+…+knyn2其中k1,…,kn中非零的个数r=秩(f),且正项的个数p与负项的个数q(p+q=r)都是在可逆线性变换下的不变量.f(或A)的正惯性指数f(或A)的负惯性指数