第五章二节二次型的标准形和规范形

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1、第二节二次型的标准形和规范形一、二次型的标准形定义5.4如果二次型经过可逆线性变换，化为二次型，并且则(5.4)称为二次型的标准形。介绍几种化二次型为标准形的方法。1用配方法化二次型为标准形例1用配方法化二次型为标准形，并写出对应的可逆线性变换。解先将含有的各项归并在一起，并配成完全平方项：再对后三项中含有的项配方，则令(5.5)则原二次型的标准形为由(5.4)可得由变量到变量的线性变换为线性变换的矩阵由于，这是一个可逆线性变换。例2用配方法化二次型为标准形，并写出对应的线性变换。解二次型中没有完全平方项，可先做线性变换即其中线性变换的矩阵原二

2、次型为令即此线性变换可记为其中线性变换的矩阵由此得二次型的标准形从变量到变量的线性变换其中即对应的线性变换为例3用配方法将二次型化为标准形。分析如果由已知二次型直接作线性变换可得二次形的标准形为但是，上面线性变换的矩阵而，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。解由已知条件，二次型可用配方法标准化正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。令即可得二次型的标准形为对应线性变换的矩阵一般的，任何一个二次型都可以通过配方法化为标准形。定理5.2任何一个二次型通过可逆线性变换一定可以化为标准形。2用正交变换法化二次型为标准形定理5.3任一n元二次

3、型都可以通过正交变换变换为标准形。例4用正交变换法将二次型化为标准形，并求所作的正交变换。解二次型f的矩阵A的特征方程所以A的特征值为即存在正交矩阵Q，使得，其中所以二次型的标准形为对于特征值，解齐次线性方程组由得的同解方程组于是得到对应于，的特征向量类似可得对应于特征值的线性无关的特征向量利用施密特正交化方法，将正交化：令将单位化，有则Q为正交矩阵，所作正交变换为例5用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求所作的正交变换：解二次形的矩阵A的特征方程由此可得A的特征值于是通过正交变换,二次型f可化为标准形对于解方程组得到对应的线性无关的特征向量

4、利用施密特方法将正交化：令对于解方程组得对应的特征向量将单位化：再将单位化，得令矩阵Q为正交矩阵，且所作正交变换为二、二次型的标准形定义5.5如果二次型(其中)通过可逆线性变换可以化为(5.11)则(5.11)称为该二次型的规范形。定理5.4(惯性定理)任一二次型都可以通过可逆线性变换转化为规范形，且规范形是唯一的。在二次型的规范形中，系数为正的平方项个数p称为的正惯性指数；系数为负的平方项个数r-p称为的负惯性指数；它们的差p-(r-p)=2p-r称为的符号差。推论任一实对称矩阵A合同于对角矩阵其中1和-1的总数等于A的秩r(A)，1的个数由

5、A唯一确定，它正是A的正惯性指数p.例7在本节例2中，二次型通过可逆线性变换X=CZ化为标准形其中矩阵在本节例4中，利用正交变换X=QY得到该二次型的标准型为做可逆线性变换记则通过线性变换f可化为规范形由变量到变量的可逆线性变换