导数在研究函数中的应用.ppt.ppt

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1、导数在研究函数中的应用函数在某点处的导数的几何意义为函数图象在该点处切线的斜率，它量化了曲线经过该点时上升或下降的“变化趋势”．因此函数的导数刻画了可导函数在整个定义域内的变化的趋势(上升或下降的陡峭程度)，而函数的单调性也可以刻画函数的此种性质．那么导数与函数的单调性有什么联系？结论:由函数的图象观察，当函数的图象上升时，各点处切线的斜率或增大或减小，但均为正值；而当函数的图象下降时，各点处切线的斜率则均为负值．数学理论一般的，设可导函数y＝f(x)，如果在某区间上f’(x)＞0，那么函数f(x)为该区间上的单调增函数；如果f’(x)＜0，那么函数f(

2、x)为该区间上的单调减函数．数学应用请借助于导数说明下列函数的单调性：1．函数y＝x2；2．函数y＝2x＋1．例1利用函数的导数确定函数f(x)＝x2－4x＋3的单调增、减区间．例2确定函数的f(x)＝2x3－6x2＋7的单调区间．例3确定函数f(x)＝sinx，x∈[0，2]的单调区间．例5已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1是R上的单调减函数，求实数a的取值范围．作业：Ｐ29练习3，Ｐ34习题2．极大值与极小值观察图象，不难发现，函数图象在P点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调增变为单调减）．在P点附近，P点的位置最高，亦即f(x

3、1)比它附近点的函数值都要大．我们称f(x1)为函数的一个极大值，相应地，称x1为函数的极大值点．类似地，图中f(x2)为函数的一个极小值，x2为函数的极小值点．函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为函数极值点．yxOax1by=f(x)P(x1,f(x1))x2例1求函数f(x)＝x2－x－1的极值．例4已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1．例5研究函数y＝｜x｜的极小值和此时的导数．小结：1．对可导函数而言，导数为零的点是该点为极值点的条件．必要不充分①求f’(x)＝0，解得x

4、＝x0；②列表判断函数在x＝x0两侧的单调性；③判断极值点，并求极值．2．求极值的步骤：3．函数的极值是函数的局部性概念，体现了函数在某一点附近的情况，极值点是区间内部的点，而不是区间的端点；且极大值与极小值没有必然的大小关系．4．一般的，当函数f(x)在某个区间上连续且有有限个极值点时，函数的极大、极小值点时交替出现的．xax1x2x3x4x5b作业：1．Ｐ31练习1．2．Ｐ34习题3．最大值与最小值函数f(x)在x0处取极大值，是指在x0附近f(x0)比其它函数值都大，极大值是相对函数定义域内某一局部而言的．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的

5、xI，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值．同样的，极小值也是研究函数在定义域内的某一局的性质．如果存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)≤f(x0)，最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，则最大值惟一．观察函数y=f(x)，x[a，b]的图象：f(x2)，f(x4)是极大值，而函数的最大值是f(b)．类似地，f(x1)，f(x3)，f(x5)是极小值，而函数的最小值是f(x3)．xax1x2x3x4x5b函数是否一定有最大值，最小值？最值一般出现在哪里？如何求函数的最值？求函数最值的步骤：①求函数的极值；

6、②求函数端点处的函数值f(a)，f(b)；③比较极值与端点值f(a)，f(b)，求出函数的最值．最值出现在极值点，或区间的端点处．例1求f(x)＝x2－4x＋3在区间[－1，4]上的最值．例2求f(x)＝x＋sinx在区间[0，2]上的最值．1．函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续，且函数单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为_____，最小值为_______．2．函数f(x)＝x3－3x＋a，当x∈[－，]时，函数f(x)的最小值为1，则a的值为．3．若函数f(x)＝x3－3x＋a在区间[0，3]上的最大值与最小值分别为M，N，则M－N的值

7、为．4．对任意x，均有f’(x)＝4x3，且f(x)在[0，1]上的最大值为－1，则函数f(x)解析式为．作业：1．Ｐ33练习2，3．2．Ｐ34习题4．