洛必达法则失效的情况及处理方法(详解).pdf

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1、洛必达法则失效的情况及处理方法【本章定位】此部分内容不需要特别掌握，关键是要用这部分的讲解来让读者记住使用泰勒展开式的重要性！。洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条f(x)f(x)limlimxag(x)xag(x)件，也就是说洛必达法则的三个条件：limf(x)0limgx)(0（1）xa（或），xa（或）；f(x)g(x)（2）和在xa点的某个去心邻域内可导；f(x)limAxag(x)（3）（或）。其中第三个条件尤其重要。其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，

2、所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。1xf(x)limsinxdxlimlimsinxxx0xg(x)x而对于极限问题来说，因为不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。1xlim

3、0sinxdx【问题1】求极限xx。nx(n)1【解】对于任何足够大的正数x，总存在正整数n，使，也就是说总存在正整数n，使xnr，其中0r。这样x就等价于n，所以11x1nrlimsinxdxlimsinxdxxx0nnr01nnrlimsinxdxsinxdxnnr0n1r2nR2limnsinxdxsintdtlimnnr00nnr，sinx这里前面一项注意到了函数的周期为，而后面一项作了令xnt的换元

4、处理。最后注意到积分值R的有界性（0R2）。如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。33xxx1eelimlimxxexex【问题2】求极限（1）x；（2）。【分析与解】（1）这是型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到33233x1xx1limlimlimxxx3(x3)12xx，可知洛必达法则失效，处理的方法是333x1x11limlim3lim311xxxx3xx3。

5、（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到xxxxxxeeeeeelimlimlimxexexxexexxexex，x可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘e，得到xx2xee1elimlim1xexexx1e2x。12exlimx0x100【问题3】求极限。0【分析与解】这是0型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可2知洛必达法则的第三个条件1122ex?exlimlimx0x100x0200x

6、102完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。正确有1t2效的方法是作换元，令x，这样就有1x250etlimlim0x0x100tet。还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例：2x26esinxx6(7x)limx01x23ln2x3(x)【例1】求极限1x问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了。3