高等数学_函数的连续性.ppt

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1、二、函数的间断点及其分类一、函数连续性的概念第六节函数的连续性三、连续函数的运算法则四、初等函数的连续性第二章一、函数连续性的概念第一类可去间断点第一类跳跃间断点第二类无穷间断点第二类间断点xyOxyOxyOxyO1…1…定义2.91.连续函数的定义若且则称函数注1°函数连续的增量定义那么称为自变量的增量(或改变量).若相应地函数y从变到称为函数的增量(或改变量).定义2.10设有函数y=f(x).当自变量x从增量概念:变到2°3°定义2.11f(x)在点x0处连续的三要素：证∴例12.单侧连续左连续；右连续.

2、定理例2解讨论函数在点x=1处的连续性.由于所以f(x)在点x=1处不连续.在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.3.函数在区间上的连续性记作例3证明函数在内连续.证即这说明在内连续.类似可证:函数在内连续.在各自定义域内连续.二、连续函数的运算法则定理2.14在某点连续的有限个函数积,商(分母≠0)运算,结果仍是在该点连续的函数.例如：经有限次和,差,1.四则运算的连续性利用极限的四则运算法则可以证明：结论：三角函数在其定义域内

3、连续.例4设均在上连续,证明函数也在上连续.证根据连续函数运算法则,可知也在上连续.如果函数(证明略)且连续.(减少)则其反函数在区间单调增加在对应区间(减少)上亦单调增加且连续.2.反函数的连续性定理2.15例如：在上连续单调递增，其反函数在[－1,1]上也连续单调递增.类似地,在区间上连续单调递减.在区间(－∞,+∞)上连续.结论：反三角函数在其定义域内连续.3.复合函数的连续性定理2.16设函数y=f[u(x)]由函数y=f(u)与函数u=u(x)复合而成,而函数y=f(u)可以写成:定理2.16的结论1

4、.函数记号f与极限记号可以交换次序;意义:四、初等函数的连续性连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续定理基本初等函数在定义域内连续.基本初等函数在定义域内连续结论：一切初等函数在定义区间内连续.定义区间是指包含在定义域内的区间.例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为注1°初等函数仅在其定义区间上连续,在其定义域内不一定连续;如：在这些孤立点的去心邻域(邻域半径不超过2)内没有定义,在O点的去心邻域(邻域半径不超过1)内没有定义,因此它无连续点.因此它在x=0处不连续，从而在其定义域内不连续.

5、2°初等函数求极限的方法代入法.例5解x=0是它的定义区间内的点,例6设解讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类在点x=1不连续,间断点.如果上述三个条件中有一个不满足，则称f(x)在二、函数的间断点及其分类1.定义(或间断点).点x0处不连续(或间断)，并称点x0为f(x)的不连续点2.间断点的分类间断点振荡同时存在可去跳跃无穷其他类第一至少有一个不存在第二类根据：为其第二类无穷间断点.为其第二类振荡间断点.为其第一类可去间断点.例7(4)为其第一类跳跃间断点.例8指出下列函数的间断点及其类型：

6、解1°找f(x)无定义的点2°判断间断点的类型解1°找f(x)无定义的点2°查分段点：内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式其它间断点3.基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在分段点处是否连续需讨论其左、右连续性.思考与练习1.讨论函数x=2是第二类(无穷)间断点.间断点的类型.2.设时提示:为连续

7、函数.答案:x=1是第一类(可去)间断点,3.续?反之是否成立?解且反例：x为有理数x为无理数处处间断,处处连续，但“反之”不成立.4.试分别举出是f(x)的所有间断点,且它们都是无穷间断点；(2)f(x)在R上处处不连续，但在R上处处连续；(3)f(x)在R上处处有定义，但仅在一点连续.解具有以下性质的函数f(x)的例子：5.求方法1原式=方法2令则原式=时，6试确定常数a使解令则故因此解备用题例2-1∵∴例2-2解∵∴例2-3解应当怎样选择a,使得f(x)在x=0处连续.由连续的充要条件得a=1.所以当a=

8、1时，f(x)在x=0处连续.例2-4解∵∴即例4-1解讨论函数因为f(x)在x=0处无定义,所以x=0是f(x)的间断点,又注故若补充定义f(0)=1,则函数在x=0处就连续了,因此,这类间断点被称为可去间断点.在区间(－∞,+∞)上连续.结论：反三角函数在其定义域内连续.证1°2°例5由夹逼准则及1°，可得3°结论：指数函数，对数函数在其定义域内皆连续.例5-1证注意到为了使于是a