高等数学函数的连续性.ppt

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1、二、函数的间断点一、函数连续性的定义第十节函数的连续性与间断点第一章一、函数连续性的定义1.变量的增量设变量从它的一个初值变到终值终值与初值的差就叫做变量u的增量记作即注：不表示某个变量与u的乘积，而是一个整体不可分割的记号.设函数y=f(x)在点的某一个邻域内是有定义的当自变量在这邻域内从变到时函数y相应地从变到因此函数y的对应增量为其几何意义如右图所示：2.函数连续性的定义定义:在的某一邻域内有定义,设函数那么就称函数在点处连续如果设则即可见,函数在点定义:在的某一邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件

2、:存在;且有定义,存在;前提条件左连续与右连续左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:如果存在且等于即如果存在且等于即左连续:右连续:例1解右连续但不左连续,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例2解因为所以f(x)在x=0处连续.若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.在闭区间上的连续函数的集合记作如果函数在开区间内连续,并且在左端点处右连续,在右端点处左连续,则称函数在闭区间上连续.简单地说，连续函数的图形能一笔画成。例3.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.导致函数图象断开的原因？？？

3、oxy121、２、(1)在x=1处有定义(3)函数f(x)的极限不存在。12oxy2.5yxo12３、(1)在x=1处有定义；(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f(1)导致函数图象断开的原因：1、函数在处没有定义2、函数在时极限不存在函数值不等3、函数在处的极限值和oxy1212oxy2.5yxo12在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为不连续点或间断点.在无定义;为其无穷间断点.

4、为其振荡间断点.为可去间断点.例如:显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.例4讨论函数的间断点.因此x=0是该函数的可去间断点.解即该函数在x=0处的左、但是由于xyO1右极限存在，因为，如果修改定义f(0)=1，在x=0连续.则函数xyO1内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点:跳跃间断点:左右极限不相等第二类间断点无穷间断点:振荡间断点:函数值在的去心邻域(左右极限至少有

5、一个不存在)在点间断的类型在点连续的等价形式(左右极限都存在)内变动无限多次左右极限相等,但不等于函数值或无定义思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:在x=0连续.答案:x=1是第一类可去间断点,作业P492(1)(2)(4);3;4(2)第九节求函数的间断点，并指出间断点的类型。解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为所以为间断点。而所以为第二类无穷间断点。所以为第一类可去间断点。思考题间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.1.P49题52.确定函数分析所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间

6、的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。求函数的所有间断点，并指出类型。当时，当时，当时，解:故是的跳跃间断点;故也是的跳跃间断点;因为因为所以