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1、一、函数连续性的定义函数的连续性二、函数的间断点123一、函数在一点的连续性可见,函数在点(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;1.定义:在的某邻域内有定义,则称函数设函数且4注意:在点连续,则极限运算和函数运算可以交换顺序。即：(1)若(2)函数存在例1:讨论函数在点处的连续性52.函数在点连续的等价定义定义：设函数自变量由变到,则叫做自变量的增量；相应的函数值由变到,则叫做函数值的增量（改变量）6当时,有函数在点连续有下列等价命题:右连续左连续7例2.证明函数在点连续.定义1：若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.同
2、理可证：函数在点连续.3.区间上的连续函数.8连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.由例2知函数及在其定义域区间内是连续的9二、函数的间断点若函数在点不连续，则称在点间断，称为间断点.在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:则下列情形之一函数在点虽有定义,但虽有定义,且在无定义;101.可去间断点，则称为的可去间断点但如果，而在点无定义，或者有定义例2：设,讨论在x=1的连续性11注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.例3：设,讨论在x=0处的连续性解:122.跳跃间断点例4：解则称为函数的跳跃间断点如果在点存在左、右极限，但13跳跃间断
3、点与可去间断点统称为第一类间断点.特点：3.第二类间断点则称为的第二类间断点函数在点的左、右极限至少有一个不存在，例5：处的连续性在讨论函数14例6解15例7解16三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点第二类间断点间断点(见下图)可去间断点跳跃间断点左右极限都存在无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在17第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyx可去型oyx18四、连续函数的性质与运算性性质1:（局部有界性）若函数在点连续则存在的一个邻域及定值，当时，有。当时，性质2:（局部保号性）若函数在点连续，则
4、存在的一个邻域，有19性质3：（连续函数的四则运算法则）例如：例1：证明函数在内是连续的。20性质4：（复合函数的连续性）例2：讨论函数的连续性。在上连续，在上各自连续连续，解：函数可以看做是由，复合而成的，在上各自连续。所以21性质5：（反函数的连续性）连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续且严格单调递增（递减）的函数.五、初等函数的连续性定理2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.例如,定理1：基本初等函数在定义域内是连续的.22备用题确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.231、解右连续但不左连续,242、解25四、小结连续函数的和差积商的连续性.复合函
5、数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.26思考题27思考题解答是它的可去间断点28练习题293031练习题答案32间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点震荡间断点33间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点无定义、值太高、值太低跳跃间断点无穷间断点震荡间断点34间断的演示●●●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去了!!!注意到：这种间断点称为可去间断点.G35间断的演示●●●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去了!!!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上
6、了！G36间断的演示●●●哎呀,太高了!够不着，又有个洞,我还是掉下去了!!!●注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上了！G37间断的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆着了!!!●●注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上了！G38间断的演示●●哎呀,前不着村，后不着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，我还是掉下去了!!!●注意到：这种间断点称为跳跃间断点.这点放哪儿能接上呢？●G39间断的演示●●哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点G40间断的演示●：Hi,小红点，你能不能停住？我
7、怎么也停不住，那可怎么连上啊？●：Hi,小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！●●●●这种间断点称为震荡间断点。G41有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质例3.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:421．当时，较等价无穷小量(B)同阶无穷小量(C)低阶无穷小量(D)高阶无穷小量是（）课堂测验432．下列各式中正确的是（）BCDA443．无穷小量是（）A比零稍大一点的一个数B
