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时间：2020-03-06
《高考数学专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题学案文.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲 圆锥曲线的综合问题[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1 (2018·百校联盟联考)已知N为圆C1：(x＋2)2＋y2＝24上一动点，圆心C1关于y轴的对称点为C2，点M，P分别是线
2、段C1N，C2N上的点，且·＝0，＝2.(1)求点M的轨迹方程；(2)直线l与曲线Γ交于A，B两点，AB的中点在直线y＝上，求△OAB(O为坐标原点)面积的取值范围．解 连接MC2，因为＝2，所以P为C2N的中点，19因为·＝0，所以⊥，所以点M在C2N的垂直平分线上，所以
3、MN
4、＝
5、MC2
6、，因为
7、MN
8、＋
9、MC1
10、＝
11、MC2
12、＋
13、MC1
14、＝2>4，所以点M在以C1，C2为焦点的椭圆上，因为a＝，c＝2，所以b2＝2，所以点M的轨迹方程为＋＝1.(2)由题意知直线l的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：y＝kx＋m
15、，由得x2＋6kmx＋3m2－6＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝2－4＝12>0，设AB的中点为C，则x0＝，y0＝kx0＋m＝＋m＝，由题意知＝，所以2m＝3k2＋1，由Δ>0，得016、AB17、＝×＝×，原点O到直线AB的距离d＝，所以S△OAB＝×××19＝＝×，即018、的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 (2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求19、AB20、的最大值；(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.解 (1)由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋21、6mx＋3m2－3＝0，Δ＝36m2－16(3m2－3)＝－12m2＋48>0，即－222、AB23、＝＝＝＝.所以当m＝0，即直线l过原点时，24、AB25、最大，最大值为.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x＋3y＝3，x＋3y＝3.19直线PA的方程为y＝(x＋2)．由得[(x1＋2)2＋3y]x2＋12yx＋12y－3(x1＋2)2＝0.设C(xC，yC)，所以xC＋x1＝＝.所以xC＝－x1＝.所以yC＝(xC＋2)＝.设D(xD，yD)，同理得xD＝，yD＝.记直线CQ，D26、Q的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQ－kDQ＝－＝4(y1－y2－x1＋x2)．因为C，D，Q三点共线，所以kCQ－kDQ＝0.故y1－y2＝x1－x2.所以直线l的斜率k＝＝1.热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始27、终是一个确定的值．例2 (2018·合肥模拟)记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E：＋＝1，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.19(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断△ABO的面积是否为定值(O为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由条件知，椭圆M的离心率e＝，且长轴的顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，∴椭圆M的方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b.由得x2＋8kbx＋4b2－12＝0.令Δ＝64k28、2b2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝0，得b2＝3＋4k2.由化简得x2＋8kbx＋4b2－48＝0.Δ>0显然成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴29、AB30、＝31、x1－x232、＝，而原点O到直线l的距离d＝，∴S△ABO
16、AB
17、＝×＝×，原点O到直线AB的距离d＝，所以S△OAB＝×××19＝＝×，即018、的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 (2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求19、AB20、的最大值；(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.解 (1)由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋21、6mx＋3m2－3＝0，Δ＝36m2－16(3m2－3)＝－12m2＋48>0，即－222、AB23、＝＝＝＝.所以当m＝0，即直线l过原点时，24、AB25、最大，最大值为.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x＋3y＝3，x＋3y＝3.19直线PA的方程为y＝(x＋2)．由得[(x1＋2)2＋3y]x2＋12yx＋12y－3(x1＋2)2＝0.设C(xC，yC)，所以xC＋x1＝＝.所以xC＝－x1＝.所以yC＝(xC＋2)＝.设D(xD，yD)，同理得xD＝，yD＝.记直线CQ，D26、Q的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQ－kDQ＝－＝4(y1－y2－x1＋x2)．因为C，D，Q三点共线，所以kCQ－kDQ＝0.故y1－y2＝x1－x2.所以直线l的斜率k＝＝1.热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始27、终是一个确定的值．例2 (2018·合肥模拟)记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E：＋＝1，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.19(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断△ABO的面积是否为定值(O为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由条件知，椭圆M的离心率e＝，且长轴的顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，∴椭圆M的方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b.由得x2＋8kbx＋4b2－12＝0.令Δ＝64k28、2b2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝0，得b2＝3＋4k2.由化简得x2＋8kbx＋4b2－48＝0.Δ>0显然成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴29、AB30、＝31、x1－x232、＝，而原点O到直线l的距离d＝，∴S△ABO
18、的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 (2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求
19、AB
20、的最大值；(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.解 (1)由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋
21、6mx＋3m2－3＝0，Δ＝36m2－16(3m2－3)＝－12m2＋48>0，即－222、AB23、＝＝＝＝.所以当m＝0，即直线l过原点时，24、AB25、最大，最大值为.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x＋3y＝3，x＋3y＝3.19直线PA的方程为y＝(x＋2)．由得[(x1＋2)2＋3y]x2＋12yx＋12y－3(x1＋2)2＝0.设C(xC，yC)，所以xC＋x1＝＝.所以xC＝－x1＝.所以yC＝(xC＋2)＝.设D(xD，yD)，同理得xD＝，yD＝.记直线CQ，D26、Q的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQ－kDQ＝－＝4(y1－y2－x1＋x2)．因为C，D，Q三点共线，所以kCQ－kDQ＝0.故y1－y2＝x1－x2.所以直线l的斜率k＝＝1.热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始27、终是一个确定的值．例2 (2018·合肥模拟)记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E：＋＝1，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.19(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断△ABO的面积是否为定值(O为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由条件知，椭圆M的离心率e＝，且长轴的顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，∴椭圆M的方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b.由得x2＋8kbx＋4b2－12＝0.令Δ＝64k28、2b2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝0，得b2＝3＋4k2.由化简得x2＋8kbx＋4b2－48＝0.Δ>0显然成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴29、AB30、＝31、x1－x232、＝，而原点O到直线l的距离d＝，∴S△ABO
22、AB
23、＝＝＝＝.所以当m＝0，即直线l过原点时，
24、AB
25、最大，最大值为.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x＋3y＝3，x＋3y＝3.19直线PA的方程为y＝(x＋2)．由得[(x1＋2)2＋3y]x2＋12yx＋12y－3(x1＋2)2＝0.设C(xC，yC)，所以xC＋x1＝＝.所以xC＝－x1＝.所以yC＝(xC＋2)＝.设D(xD，yD)，同理得xD＝，yD＝.记直线CQ，D
26、Q的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQ－kDQ＝－＝4(y1－y2－x1＋x2)．因为C，D，Q三点共线，所以kCQ－kDQ＝0.故y1－y2＝x1－x2.所以直线l的斜率k＝＝1.热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始
27、终是一个确定的值．例2 (2018·合肥模拟)记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E：＋＝1，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.19(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断△ABO的面积是否为定值(O为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由条件知，椭圆M的离心率e＝，且长轴的顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，∴椭圆M的方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b.由得x2＋8kbx＋4b2－12＝0.令Δ＝64k
28、2b2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝0，得b2＝3＋4k2.由化简得x2＋8kbx＋4b2－48＝0.Δ>0显然成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴
29、AB
30、＝
31、x1－x2
32、＝，而原点O到直线l的距离d＝，∴S△ABO
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