高考数学二轮复习专题六解析几何第3讲专题突破讲义圆锥曲线的综合问题文

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1、第3讲　圆锥曲线的综合问题1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题．2．试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一　范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1　(2017届天津市红桥区二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)设与圆O：x2＋y2＝相切的直线l交椭圆C于A,B两

2、点，求△OAB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程．解　(1)由题意可得解得a2＝3，b2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)①当k不存在时，x＝±，∴y＝±，∴S△OAB＝××＝.②当k存在时，设直线方程为y＝kx＋m，A，B，联立得x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.d＝r⇒4m2＝3.＝·＝·＝·＝·＝·≤2，当且仅当＝9k2，即k＝±时等号成立，此时m＝±1.∴S△OAB＝×r≤×2×＝，∴△OAB面积的最大值为，此时直线方程为y＝±x±1.思维升华　解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确

3、定出极端位置后，利用数形结合法求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1　(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为

4、NO

5、.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．解　(1)由椭圆的离心率

6、为，得a2＝2(a2－b2)，又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，所以a2＝4，b2＝2.因此椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程，得得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.由Δ>0，得m2<4k2＋2，(*)且x1＋x2＝－，因此y1＋y2＝，所以D.又N(0，－m)，所以

7、ND

8、2＝2＋2，整理得

9、ND

10、2＝.因为

11、NF

12、＝

13、m

14、，所以＝＝1＋.令t＝8k2＋3，t≥3，故2k2＋1＝.所以＝1＋＝1＋.令y＝t＋，所以y′＝1－.当t≥3时，y′>0，从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，因此t

15、＋≥，当且仅当t＝3时等号成立，此时k＝0，所以≤1＋3＝4.由(*)得－

16、数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2　(2017·长沙市长郡中学模拟)已知抛物线E：y2＝4x的准线为l，焦点为F，O为坐标原点．(1)求过点O，F，且与l相切的圆的方程；(2)过F的直线交抛物线E于A，B两点，A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．(1)解　抛物线E：y2＝4x的准线l的方程为x＝－1，焦点坐标为F(1,0)，设所求圆的圆心C为(a，b)，半径为r,∵圆C过O，F，∴a＝，∵圆C与直线l：x＝－1相切，∴r＝－＝.由r＝＝＝，得b＝±.∴过O，F且与直线l相切的圆的方程为2＋2

17、＝.(2)证明　方法一　依题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB方程为y＝k，A，B，A′，联立消去y，得k2x2－x＋k2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝1.∵直线BA′的方程为y－y2＝，∴令y＝0，得x＝＝＝＝－1.∴直线BA′过定点.方法二　设直线AB的方程为x＝my＋1,A，B，则A′.由得y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m,y1y2＝－4.∵kBA′＝＝＝，∴直线BA′的方程为y－y2＝.∴y＝(x－x2)＋y2＝x＋y2－＝x＋＝x＋＝(x＋1)．∴直线BA′过定点(－1,0)．思维升华　(1)动线过定点问题的两大类型及解法①动直线

18、l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，