Maxwell-Bloch方程的分叉与混沌研究.pdf

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1、MaxweII—Bloch方程的分叉与混沌研究THESTUDYOFBIFURCATIONANDCHAOSOFTHEMAXWELL．BLOCHEQUATIONS作者指导老师学位类别学科专业学位授予单位论文提交日期Maxwell．Bloch方程的分叉与混沌研究摘要本文运用动力系统的方法研究了一类三维Maxwell—Bloch系统的动力学行为，包括平衡点的分又及其稳定性分析、Hopf乡J"叉分析，用广义Hamilton扰动系统理论研究了周期轨道和同宿轨道的存在性，用Lyapunov指数讨论了系统的混沌运动等情况．Maxwell．Bloch系统是一类重要的非线性动力系

2、统．近年来对于Maxwell．Bloch系统已经有了很多数值研究成果．此类系统在机械工程、光学、分子动力学等许多领域都有很重要的应用．此系统由如下方程组给出：EE=-：Ic纛E+二g麓P朋{差i三兰蔓≥一zyc2，本文先求出当啦>叩仰2时，系统(2)有三个平衡点：分别为A(0，0，773)，B(、／紫，叩1、／訾，叩，叼2)，c(一、／宁，一?7·、／紫，77，叩2)，并且平衡点B，c是对称的．当叩3≤7}17}2时，系统只有一个A平衡点．对于平衡点A，通过理论分析和证明可知，当叩3≤?71叩2时，平衡点是稳定的；当叩3>r／1r／2时，平衡点是不稳定的．而对

3、于B、C平衡点，对于任意的叩1>0：r／2>0，r／3>叩1叼2，i)平衡点B、C是渐近稳定的充要条件为叩1≤1+r／2或叩1>1+叩2且叩3<丝r生／1--坠r／2坚--1型．ii)当叩1>1+叼2，卵3>名掣平衡点B、c是不稳定的．然后根据Hopf分叉理论通过理论分析T摘要证明了当给定相同参数条件下，B、C平衡点同时会发生亚临界的Hop玢叉．为了说明理论分析的可靠性，本文在取定参数771=4，，72=l，叩3作为自由参数情况下，当叩3=饶=64时，得到了平衡点B、C会同时发生亚临界的Hopf／)子叉现象，并且用Matcont软件画出了相应的分叉图．本文还将

4、Maxwell．Bloch方程通过适当的尺度变换，转化成三维广义哈密顿扰动系统形式，此系统又可以改写成无扰动情况下的广义哈密顿系统与加了扰动项之后的系统．对于无扰动的广义哈密顿系统，利用Jacobi椭圆函数和双曲函数将不同参数区域内轨道进行了精确解表示．更进一步地，研究加了扰动之后的系统周期轨道和同宿轨道的存在性判别，给出了判定条件．通过计算最大Lyapunov指数，发现在给定的参数条件下，该系统会出现混沌现象。关键词：Maxwell．Bloch方程；中心流形；Hopf分叉；同宿轨道；MelnikovS高f法：混沌IlTHESTUDYOFBIFURCAITIO

5、NANDCHAOSOFMaXWELL．BLOCHEQUATIONSABSTRACTThethesisdealswiththedynamicbehaviorforaclassof3-dimensionalMaxwell-Blochsystemsbyusingthemethodofdynamicalsystem，includingthetypeandstabil-ityanalysisoftheequilibria，Hopfbifurcationanalysis，existenceofHomoclinicOrbitandchaoticdynamicalanalys

6、isandSOon．Maxwell-Blochsystemisveryimportantclassofnonlineardynamicalsystems．Therearemanyvalueofresearchresultsforthissysteminrecentyears．Thisclassofsystemhasbeenwidelyappliedinmanyphysi—calareas，suchasmechanicalengineering，optics，andmoleculardynamics．wegivethesystemasfollowsEif,=-k

7、纛E+二9皇P椰Inordertofacilitatetheanalysis，thispapermainlystudiesthesimplifiedthree—dimensionalmodelwhichisobtainedbytheMaxwell—Blochsystem．WegivethesimplifiedsystemasfollowsE童First，wegetthatthesimplifiedsystemhavethreeequilibriumpointswhenparameter叩3>771啦ishold．Thisthreeequilibriumpoin

8、tsareA(0，0，叩3)，产手巾俨