第05章非均匀展宽下 Maxwell-Bloch 方程的解析解.pdf

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1、第五章非均匀展宽下Maxwell-Bloch方程的解析解在第三章，我们推导出了二能级体系的MB方程，这是一组偏微分方程，从偏微分方程的分类来看，可以归类于拟线性一阶双曲双曲型方程组。这类方程的解析解是困难的，即使是数值求解都并非一件直观简易的事。但一些特殊条件下，还是能求出解析解的，由这些解析解，也就可以分析MB方程的作用与物理含义。这一章，我们基本沿用MB方程求解的历史文献来求得非均展宽下MB方程的解析解，并讲述由此引入的一些相关术语。虽然从事后的许多研究成果来看，早期的研究推导，显的有些繁杂与难懂，

2、但从阅读文献、理解这方面的新的进展，以及一些重要概念的理解，如面积定理等，我们理解与弄懂这些内容都是有重要意义的。5.1面积定理1969年McCall和Hahn推导出一个所谓的面积定理，它描述入射光场相对于时间积分(脉冲面积)在空间的演变情况。借助这个定理，可以方便地讨论超短激光脉冲在吸收和放大介质中出现的某些现象，而无需知道光学Bloch方程的详细解。5.1.1Bloch角与脉冲面积的定义我们知道，在定态(稳态)作用中，光场、介质极化强度和粒子数都不随时间变化，即，EPW0或者说，

3、uvw0。可以由PW0求出极化强度与光场的关系，而且在时刻t的极化强度P(t)是该时刻的光场E(t)决定。反之亦然。然而，在相干瞬态作用中，PW0，不可能求出P(t)与E(t)的显函数关系t时刻P(t)不只取决于t时刻的光场，还与t时刻以前的光场有关，即有记忆效应。这样，u(t),v(t),P(t)取决于从到t时刻的光场的积分值(t)，即所谓的Bloch角，其定义如下：tt(,)ztEztt(,)d(,)dztt(5.1.1)其微分式为，

4、(z,t)(z,t)(5.1.2)t而光场慢振幅的Eztt(,)曲线下的面积为称为光脉冲的面积，其定义如下，116Az()lim(,)ztEztt(,)d(,)dztt(5.1.3)t为光整个脉冲通过点z的脉冲“面积”。由物理意义知：Ez(,)Ez(,)0或(,)zz(,)0(5.1.4)例如，对于一个脉宽为，振幅为E的矩形脉冲，我们有，0E0()ttt0t(5.1.5)0E0At(5

5、.1.6)05.1.2非均匀展宽共振激发下的面积定理式(5.1.3)对空间变量z求导，有：d()Aztlim(,)dztt(5.1.7)dzzt将(3.3.10d)式代入上式，d()Azt(,)zttlimvzt(,')dtlim(,)zt(,)zlimvzt(,)dtdztttt考虑到(z,)(z,)0，我们得到，d()Aztlimvz(,,dtt(5.1.8)dztu

6、(z,t)在对于,0，由式(4.3.10a)式，得：v(z,t)。在非均匀展宽下为：12uzt(,)vzt(,)，上式代入(5.1.8)式，可得：d()Aztu(,,)ztlimdt(5.1.9)dzt取u(,z,)0，这样有，d()Azu(,,)ztlim(5.1.10)dzt对于气态原子，我们考虑其原子速度分布的影响(相当于非均匀展宽)，这时有：1171vv22()tt()ezpdv(5.1.11a)2121zπv

7、p~式中(t)表示对速度取平均，v为原子的最可几速度。这样，便有：21p1vv22uz(,,)tuz(,,)etzpdv(5.1.11b)zπvp代入(5.1.10)式，可以得到，d()Az1vv22(,,)ezpduztv(5.1.12)limzdztπvp上述对原子运动速度v的积分可转换为对共振参量的积分，即对于以速率v沿光的传播方向运动的原子zz群的共振调谐参量为，kv(5.1.13)z21当，时，即光的中心频率与跃迁频率相等(共振)时

8、，这里，矢谐量仅由非均匀展宽引起，即有，21kv(5.1.14a)z要注意，这个有是量纲，而(5.3.12a)的是无量纲量，因此，无量纲，则为：kv(5.1.14b)0z代入(5.1.12)，有22d()Az1kvpuz(,,)etd()kvdzlimπkvztp(5.1.15)g()limuz(,,)dtt0式中，221()kvpg()e(5.1.16)kvp从