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1、导数及其应用综述一、导数的定义二、函数导数的意义和几何意义三、基本函数的求导公式四、函数导数的运算法则五、导数的应用1.求函数在P(x0,/(x0))处的切线的斜率或函数在某处的瞬时变化率(特别注意函数导数在物理学上的具体实际含义)2.求函数的单调区间3.求函数的极值4.求函数的最值5.证明不等式六、范例精析例1.①若/r(x0)=2,则lim./(比+心)二/(乞)mt。3Axlim/任()+3心)-/(工0)二Ar②若广(兀。)=一3，则1亦/(心+/7)—/(—%)力TOh③若/(x)在x处可导，a,b为常数,①求lim心）Ax例2.利用定义求导数①求函数尹=-2/x2的导
2、数②y=x3-2x+1在x=2处的导数1,③已知1山线y=x^—r=,求y/x=iyjx例3.已知函数/(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-l,/(-!))处的(2)求函数尹=/(x)的切线方稈为6x-尹+7=0⑴求函数尹=/(x)的解析式单调区间例4.已知函数f(x)=ax5-bx3^-c(a7^0)在x二±1时有极值，极大值4,极小值0,试求a,b,c的值。例5.已知函数f(x)=x"4-ax'++1在兀=±1时有极值，极大值比极小值大4,⑴求a,b的值；⑵求函数尹=/(X)的极大值，极小值例6.已知x=l是函数f(X)=mx3-3(/n+l)x
3、2+wx+1的一个极值点，其屮/n,neR?m^O⑴求m,n的关系表达式；⑵求函数y=/(x)的单调区间。例7.已知函数f(X)=-x3+3x2+9x+<7⑴求函数/(x)的单调递减区间；⑵/(x)在卜2,2]的最大值为20,求它在该区河上的最小值。1例8.求函数/(x)=ln(l+x)--x2在[0,2啲最大值、最小值。4例9.求下列函数的最大值最小值。V-1(1)y=—；xe[0,4]⑵x~+1y=sin2x-xxg卜兀-2,兀丨2]例10.已知实数X,y满足x2+y2=2x,求/y?的取值范围。11・设/(x)=x:，—3ax2+2bx在x=l处有极小值一1,试求°、b的值
4、，并求出/(兀)的单调区间.12.已知函数/(%)=启+3”一兀+]在r上是减函数，求实数匕的取值范围.13.若函数)7=-x^——(7X24-(«—1)x+1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,+8)32内为增函数，试求实数。的取值范围.14.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定。的取值范囤，并求出这三个单调区间.15•设函数f(x)=xJ—ym*2+3x+5(a>0),求f(x)的单调区间.16.己知函数f(x)=x3-ax-l.(1)若/(x)在实数集R上单调递增，求实数。的取值范毎【；(2)是否存在实数a,使/&)在(一1,1)上单调递减?若存在，求出a的取
5、值范围,若不存在，请说明理由；(3)证明f(x)=x3—av—1的图象不可能总在直线尸g的上方.17•已知函数/(兀)=0?+加％・的图象经过点(0,1),且在尸1处的切线方稈是y=x-2.(1)求尸f(兀)的解析式；(2)求y=f(x)的单调递增区间.1&已知函数/(x)=2t7x-x3,。>0,若/(X)在兀丘(0,1］上是增函数，求。的取值范围.19•证明方程Xs—3x+c=0在［0,1］上至多有一实根.20•若函数f(x)=^3—x2+x—5在(一8,+co)上单调递增，求口的取值范用.21.是否存在这样的k值，使函数f(x)=k2x4--x3-kx2+2x4-1在(1,
6、2)上递减，在3(2,+8)上递增.22.已知t(x)=f+c,且/［/(X)］m"+i)⑴设曲)宁［久兀)］，求*)的解析式；(2)设0(x)二g(x)—A,试问：是否存在实数人，使0(x)在(一8,-1)内为减函数，且在(一1,0)内是增函数.23・求证：①当Q1时，Zv3>x2+1.②当x>l时，x>ln(1+x)sinx③当xeR时，ev>x+l④当xw(0m)时，试证明/(x)=是单调递减x函数24(2005年高考・全国卷II・理22)己知a>0,函数/'⑴=(x2—2ax)ex.(I)当x为何值时，/(x)取得最小值？证明你的结论；(II)设/(工)在［-1,1］上是
7、单调函数，求。的取值范围.25(2005年，湖南卷，文19)设心0,点P(/,0)是函数)f(X)=X3+GC与g(x)=bx2+C的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.(I)用(表示67，b,C;(II)若函数y=/(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求/的取值范围.24(2004年，浙江卷，理20)设曲线y=e'x(x>0)在点M(f,訂)处的切线/与x轴y轴所围成的三角形面积为S⑺.(I)求切线/的方程；(II)求S(f)的最大值.25(2004年，全
