数学物理方法总复习.doc

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1、第一章复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：§1.3导数52Cauchy-Riemann方程§1.4解析函数1．定义若复变函数在点及其邻域上处处可导，则称在点解析。注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。例如：函数在点是否可导？是否解析？解：，，，，，，，由此可见，仅在，u、v可微且满足C-R条件，即仅于点可导，但在点不解析。在其他点不可导，则它在点及整个复平面上处处不解析。52某一点，函数解析可导某一区域，函数解析可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知求看书

2、上例题§2.1复变函数的积分复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。积分路线不同，其结果也不同.§2.2柯西定理的应用§2.3不定积分§2.4柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开52（1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D’Alember）引入收敛圆半径：（3.2.3）（2）根值判别法（柯西判别法）引入收敛半径：（3.2.6）§3.3泰勒级数的展开2.其他展开法可用任何方法展开，只要项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor展开的唯一性）如利用;等等！52例6将在

3、点邻域展开（）解：利用有：例7在点的邻域展开解：§3.5洛朗（Laurent）级数展开（1）展开中心z0不一定是函数的奇点；523展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法较常用例2将函数在内展开为Laurent级数解：因为内展开，展开形式应为而得到：52例3函数在下列圆环域内都是处处解析的，将在这些区域内展开成Laurent级数①②③④解：①由于从而，利用可得：结果中不含负幂次项，原因在于在内解析的。②由于，从而所以52（）③所以于是④由于可知展开的级数形式为所以其他例子见书第四章留数定理（残数，Residue）4.2应用留数定理计算实变函数定积

4、分本章没重点，但是考点在这节！52第五章傅里叶变换§5.1Fourier级数（一）周期函数的Fourier展开若函数f(x)以2l为周期，即，则可取三角函数族（5.1.2）（其中函数都以2l为周期）作为基本函数族，将f(x)展开为傅里叶级数（二）奇函数和偶函数的Fourier展开§5.2Fourier积分与Fourier变换记住基本的，最重要的公式，能理解即可！5.3函数(又叫狄拉克函数)函数的性质（见书）52第六章Laplace变换6.3Laplace变换的应用本章没重点，但是考点在这节！第七章数学物理定解问题（1）依据物理规律（同一类物理现象的共同规律

5、），将具体的物理问题化为数学问题——数学物理方程，称此方程为泛定方程（共性，一般规律）。（2）列出具体问题的初始条件（历史状态）和边界条件（所处环境）称为定解条件（个性）。（3）泛定方程提供解决问题的依据，定解条件提出具体的物理问题，作为一个整体，叫做定解问题。【——定解条件：边界条件与初始条件——物理规律用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程——泛定方程（不带定解条件的数学物理方程）——定解问题：在给定的定解条件下求解数学物理方程】52§7.1数学物理方程的导出——本小结导出的偏微分方程主要分为三类（ⅰ）以波动方程（1-6，14）为代表的双曲型方程；齐次

6、方程，其中，就是振动在弦上传播的速度。上式也称为弦不受外力的横振动方程（自由振动方程）比如弦在振动过程中还受到外加横向力（与同方向）的作用，引入力密度（7）修改为（8）（7）称为弦的自由振动方程，（8）称为弦的受迫振动方程。再比如考虑重力，作用在此段上的重力为，则52，重力与同向。则有：。（ⅱ）以输运方程（扩散，热传导，7，8）为代表的抛物型方程；，（7.1.25）如果仅在x方向有扩散，则一维扩散方程为，（7.1.26）（iii）稳定场问题（PoissonandLaplaceequations）（九）稳定的浓度分布见P147-148浓度在空间的分布构成一个

7、标量场，在一般情况下，浓度分布是时间的函数，遵从扩散方程，如果扩散源强度不随时间变化，扩散运动将持续进行下去，最终将达到稳定状态。空间中各点的浓度不再随时间变化，即，则上式变为泊松方程52（7.1.39）为泊松（Poisson）方程如果源与汇不存在，则得到Laplace方程：。（7.1.40）为Laplace方程。§7.2定解条件泛定方程表达同一类现象的共同规律。从物理的角度看，仅有方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到的外界作用有关。另外，从数学的角度看，一个微分方程的通解中往往含有若干个任意常数或任意函数，这就使得其解

8、不能唯一确定，为了得到唯一确定的合理解，我们必须根据不同的实际问题