多元函数的极限及连续性.ppt

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1、第7章多元函数微分法及其应用主要内容本章在一元函数微分学的基础上讨论多元函数（以二元函数为主）的极限、连续、偏导数、方向导数、全微分、极值等概念，以及它们的计算方法.关键词偏导数(Partialderivatives);全微分(Totaldifferential)7.1多元函数的极限及连续性7.2偏导数7.3全微分7.4多元复合函数的求导法则7.5隐函数的求导公式7.7方向导数与梯度7.6多元函数微分学的几何应用7.8多元函数的极值及其求法7.9习题课7.1多元函数的极限及连续性7.1.1多元函数概念7.1.2多元函数的极限7.1.3多元函数的连续性1区域等相关概念的回顾7.1.1

2、多元函数概念(1)邻域(2)区域例如，即为开集．连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，有界闭区域；无界开区域．例如，（3）聚点2多元函数概念例1长方形的面积例2一定量的理想气体的压强例3电阻并联后的总电阻定义7.1设D是R2的一个非空子集，称映射为定义在D上的二元函数，通常记为或其中点集D称为该函数的定义域，为自变量，因变量.类似地可定义三元及三元以上函数．f:D→R它是一个无界开区域.定义域为它是一个有界闭区域.例4求的定义域.解定义域D中的点(x,y)应满足条件其定义域如图所示.取遍二元函数的图形（如下页图）设函数的定义域为对于任意取定的对应的函数值为这样，以为横坐标、为纵坐

3、标、为竖坐标在空间就确定一点当上一切点时，得一个空间点集这个点集称为二元函数的图形.二元函数的图形通常是一张曲面.总存在正数,7.1.2多元函数的极限定义7.2设二元函数的定义域为是其聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数,使得当0<

4、P0P

5、<且P(x,y)D时，都有成立，则称A为函数当时的极限，记为或也记作定义7.3设n元函数f(P)的定义域为GRn,P0是其聚点,如果存在常数A，使得对于任意给定的正数,如果将n维空间Rn中的函数f(x1,x2,,xn)看作n维空间中点P(x1,x2,,xn)的函数f(P),则可得到n元函数极限的定义.总存在正数,使

6、得当0<

7、P0P

8、<且P(x,y)G时，都有成立，则称A为函数f(P),当PP0时的极限，记为或f(P)A(PP0)例5求极限由极限运算法则,有解例6求极限解例7求证证当时，原结论成立．确定极限不存在的方法：令P(x,y)沿y=kx趋向于若极限值与k有关，则可断言极限不存在；(1)找两种不同趋近方式，存在，但两者不相等，此时也可断言f(x,y)在点的极限不存在.(2)例8函数当P(x,y)时极限是否存在?解当点P沿直线路径y=kx趋近于原点时,函数的极限为该结果与k的值有关,故所求的极限不存在.例9讨论函数当P(x,y)时极限是否存在?解当点P沿直线路径y=kx趋近于原点

9、时,函数的极限为取点P沿抛物线路径x=ky2趋于原点,则有该结果与k有关,故所求的二重极限不存在.7.1.3多元函数的连续性定义7.4设二元函数的定义域为D，是其聚点，且P0D,如果则称函数在点处连续.如果函数f(x,y)在D的每一点都连续，那么就称函数f(x,y)在D上连续，或者称f(x,y)是D上的连续函数.二元连续函数的图形是一个无孔、无缝的曲面.定义7.5设函数的定义域为是其聚点，如果函数在点不连续，则称为函数的间断点.函数在点(0,0)无定义,故(0,0)是函数的间断点.函数在原点处无极限,故该函数在原点处间断.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包

10、含在定义域内的区域或闭区域.一般地，如果f(P)是初等函数且是f(P)的定义域内的点，则f(P)在点处连续，于是闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.（1）最大值和最小值定理（2）介值定理练习1练习2求极限练习3证明不存在.练习5讨论函数在(0,0)处的连续性．练习4求练习1解由积的极限运算法则，得练习2求极限解其中练习3证明不存在.证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．练习4求解练习5讨论函数在(0,0)处的连续性．解取故函数在(0,0)处连续.当时