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《多元函数的极限及连续性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、多元函数的概念定义1设E是平面点集.如果存在对应关系f,使得对任意的按这个对应关系f,有唯一的实数u与之对应,则称f为定义在E上的二元函数,记为或称E为函数f的定义域,x,y称为f的自变量,u称为f的因变量,是f在点(x,y)所对应的函数值,全体函数值的集合f(E)称为f的值域.空间点集称为函数的图形.一般来说它构成一块空间曲面,定义域E就是这块曲面在Oxy平面上的投影.这种曲面的特点是,过定义域每一点平行于z轴的直线只与曲面相交于一点.例1例2例3例4n元函数二元函数的极限定义2设在的某个空心邻域内有定
2、义,A是一个确定的数.若对任给的存在使当时,有则称A是f当时的极限,记为或等价叙述当且仅当使当或时,有例1证明证:因为所以于是,取则当且时,就有又证:因为所以于是,取则当时,例2证明证:取则当且时,就有Remark在极限的定义中,动点在中趋向于点与一元函数f(x)的自变量x在数轴上的变化不同,它可以在区域内沿着不同的路线(如曲线或直线等)和不同的方式(连续或离散等),从四面八方趋近于二元函数f(x,y)在点的极限都是A.例3设证明不存在.证:当动点(x,y)沿直线y=x趋于(0,0)时,有当(x,y)沿抛
3、物线趋于(0,0)时,有定义3设在的某个空心邻域内有定义.若对任给存在使当时,有则称f是当时的正无穷大,记为或仿此可类似定义与例4设证明证:因为对任给正数M,取则当时,就有从而有故二元函数极限的性质二元函数极限的运算法则与基本性质(局部有界性,局部保号性,不等式关系等)同一元函数的完全一样.海涅定理设在的某个空心邻域内有定义,则的充要条件是对中任意满足的点列有二元函数极限的计算例5求极限解:所以,原式=2/1=2.例6求解:作极坐标变换这时等价于对任何都有因此例7求解:由于从而而所以故例8设求解:由于即对
4、任意有所以于是例9求解:令则等价于对任何都有不妨限制因为所以于是,取则当时,就有故累次极限定义4设在的某个空心邻域内有定义.若对固定的一元函数极限存在(y暂看作常数),设又存在且极限为A,则称A为在点的累次极限,记为类似可以定义先对y后对x的累次极限计算累次极限归结为一元函数的极限,因此比较容易,那么计算二元函数的极限是否可归结为求累次极限呢?一般情况下,二者没有关系.例10两个累次极限存在(且相等),二元函数的极限可能不存在,如在点(0,0).例11二元函数的极限存在,两个累次极限可能都不存在,如在点(
5、0,0).下述定理告诉我们,二元函数的全面极限与累次极限在一定条件下也是有联系的.定理2若(有限或无限),且当时,则有证:只证A有限的情形.推论若在点的全面极限和两个累次极限都存在,则三者必相等.例12二元函数的连续性定义5设在点的某邻域有定义.若即当时,有则称在点连续.若是一开区域,在的每一点连续,则称在开区域上连续.若是一闭区域,在的每个内点连续,而对的任意边界点在内当时的极限值等于点的函数值,即当且时,有则称在闭区域上连续.例13在(0,0)点连续.例14在(0,0)点不连续.定理3(连续的四则运算
6、)若与都在点连续,则函数(假定)也都在点连续.例15讨论的连续性.定理4(复合函数的连续性)设在点连续,而在点连续,则复合函数在点连续.
