标准形只含有平方项的二次型称二次型的标准形.ppt

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1、§5-2标准形只含有平方项的二次型称二次型的标准形.说明1.　若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤2.　若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.一、用拉格朗日配方法化简二次形解例1含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解例2由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得所用变换矩阵为Th.1数域P上的任意一个二次型都可以

2、经过非退化的线性替换变成平方和的形式称为标准形.证明:对变量的个数n用数学归纳法.当n=1时,二次型就是已是标准形.现假设对n-1元的二次型,定理的结论成立.设n元二次型为分三种情况讨论:由归纳法假设对有非退化的线性变换二次型的标准形矩阵是对角矩阵,即有反过来,矩阵为对角形的二次型只含有平方项(标准二次形),经过非退化的线性变换,二次形矩阵变成与它合同的矩阵,因此,用矩阵的观点,重述定理1,便得到Th.2在数域P上任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.即如果A是对称矩阵,则必存在可逆矩阵C,使得为

3、对角矩阵.Ex.1化下列二次型为标准形.解:1)解:2)为对角矩阵Ex.2用矩阵合同变换化Ex.1(2)的二次型化为标准形.二、合同矩阵方法化二次型为标准形用初等变换求对称矩阵A的矩阵C:使对角矩阵例3小结将一个二次型化为标准形，还可以用正交变换法等，具体用什么方法，这取决于问题的要求．如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．思考题作业：P237-1、P238－2、3、

4、4、5思考题解答作业：P237－1（1）、（2）、（3）、（4）