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1、第一章引论数值计算方法第一章引论1.3误差1.1数值计算的研究对象与特点1.2数值问题与数值方法2P29.习题一:2.6.11.本章要点:绝对误差(限)和相对误差(限)有效数字位数及其与误差的关系数值问题的性态与误差的关系数值算法设计原则本章作业31.1计算机数值方法的研究对象与特点以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历三个过程:总体设计——模型的细化详细设计——主要为算法设计程序设计计算机数值方法研究的是将数学模型化为数值问题，并研究求解数值问题的数值方法进而设计数值算法4数值问题：输入数
2、据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述即：输入与输出的都是数值的数学问题如求解线性方程组求解二次方程是数值问题一、数值问题1.2数值问题与数值算法5求解微分方程不是数值问题将其变成数值问题，即将其“离散化”“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题的主要方法，这也是计算方法的任务之一6二、数值方法数值方法:是指解数值问题的在计算机上可执行的系列计算公式在计算机上可执行的公式是指只含有加减乘除的公式现在的计算机软件都有标准函数库，如C语言sqrt(),exp()标准函数库不包含的计算
3、视为不能直接运行的计算，例:极限、微分、积分等等要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价或近似等价运算7如求根公式应化为公式8研究数值方法的主要任务:1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可执行的运算2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行的且有效的计算公式3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析,即数值问题的性态及数值方法的稳定性本课程的重点就是对线性方程组、微积分、微分方程、及回归拟合等问题寻找行之有效的数值方法9三、数值算法数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程.数
4、值算法有四个特点:1.目的明确算法必须有明确的目的,其条件和结论均应有清楚的规定2.定义精确对算法的每一步都必须有精确的定义3.可执行算法中的每一步操作都是可执行的4.步骤有限算法必须在有限步内能够完成解题过程10例1.给出等差数列1,2,3,…,10000的求和算法解:记数器置零111.3误差一、误差的种类及来源模型误差在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往
5、往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有误差截断误差由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷12过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差.如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差Taylor展开13舍入误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差过失误差由于模型错误或方法错误引起的误
6、差.这类误差一般可以避免14数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和舍入误差经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人,因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象.二、误差和误差限定义1.15绝对误差限或误差限,显然或且16哪个更精确呢?定义2.relativeerror17绝对误差限相对误差限往往未知代替相对误差代替相对误差限因此18例1.解:19例2.解:可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数
7、字的半个单位20三、误差的传播与估计(补充)（略）即21222324绝对误差增长因子相对误差增长因子思考:试分析四则运算、乘方和开方的误差传播规律25有4位有效数字有6位有效数字四、有效数字定义3.有8位有效数字只有4位有效数字26且因此,可根据上述分析对有效数字有如下结果:或27定理1.P18.定义4的错误例3.求下列四舍五入近似值的有效数字个数.3个3个4个4个3个5个28例4.实际上只1有个29例5.从以上分析可见,四舍五入的近似值的数字都是有效数字而不是四舍五入得到的近似值的数字不一定是
8、有效数字30定理2.证明:31即则有则由定理1.可知32例6:解:3334五、浮点数和浮点运算只介绍两个整数相加方法，为简单以十进制为例。1.规格化2.对阶3.尾数相加4.规格化35六、数值方法的稳定性与算法设计原则例8.计算定积分解:36误差放大5千倍!但如果利用递推公式37因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则1.四则运算中的稳定性问题(1)防止大数吃小数这一类问题主要由计算机的位数引起假如作一个有效数字为4位的连加运算误差会放大误差不会放大38而如果将小数放在前面计算在作连加时,为
