数值分析,计算方法ppt课件.ppt

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1、数值分析上海大学机自学院第一章绪论§1.1课程主要内容1、非线性方程数值解法2、线性方程组的数值解法3、插值方法4、数值积分5、常微分方程初值问题的数值解法§1.2数值算法概论数值算法是利用计算机求解数学问题近似解的方法，所获近似解也称为原问题的数值解或逼近解。重点研究数值算法构造及其相关理论，包括误差分析，算法收敛性和稳定等。实际问题数学模型构造数值算法程序设计获取近似解数值算法，不仅仅是单纯的数学公式，而是指解题方案准确而完整的描述。算法优劣主要取决于:1、计算开销2、误差控制数值方法是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学科；思维方法是归纳法，核心问题是“误差

2、”或误差分析。数值方法这门课程讨论连续变量问题又要讨论离散变量问题，关心的是数值结果。数值分析、计算数学、计算方法或数值方法这门课程已成为近代数学的一个重要分支。例1.1多项式求值的秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn算法①：令tk=xkuk=a0+a1x+…+akxk则得递推公式tk=xtk-1uk=uk-1+aktk初值t0=1,u0=a0(k=1,2,…,n)显然，由算法①计算n次多项式P(x)值所需的乘法次数为2n。算法②（秦九韶算法，我国宋代数学家）P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxnP(x)=a0+x(a1+a2x+…+anx

3、n-1)P(x)=a0+x(a1+x(a2+…+anxn-2))P(x)=a0+x(a1+…+x(an-1+anx)…)显然，由里层往外一层一层的计算，仅需n次乘法运算，比算法①节省一半的计算量。秦九韶算法令(p=0)v0=an(p=1)v1=anx+an-1=v0x+an-1(p=2)v2=(anx+an-1)x+an-2=v1x+an-2……(p=k)vk=vk-1x+an-k......(p=n)vn=vn-1x+a0v0=anvk=vk-1x+an-k(k=1,2,…,n)P(x)=vn例1.2计算积分解：通过直接计算可产生如下递推公式，（1.1）由经典微积分

4、知识可推得In具有如下性质(1)(2)单调递减(3)(4)直接根据公式(1.1)，从n=1计算到n=30。结果为表1-1从n=18开始，计算值出现异常。原因是从第n-1步计算到第n步时，第n-1步的误差被放大了5倍。nInnInnIn18.8392e-002111.4071e-002212.6406e-00225.8039e-002121.2977e-00222-8.6575e-00234.3139e-002131.2040e-002234.7635e-00143.4306e-002141.1229e-00224-2.3401e+00052.8468e-002151.

5、0522e-002251.1740e+00162.4325e-002169.8903e-00326-5.8664e+00172.1233e-002179.3719e-003272.9336e+00281.8837e-002188.6960e-00328-1.4667e+00391.6926e-002199.1515e-003297.3338e+003101.5368e-002204.2426e-00330-3.6669e+004算法改造：由性质(4)，取递推公式改写为（1.2）从n=30计算到n=1。由于该算法每向后推进一步，其误差便减少5倍，可期望获得符合原积分性态

6、的数值结果。计算结果见表1-2。表1-2由此列可知，算法的设计十分重要，关系到计算结果是否真实可信。nInnInnIn18.8392e-002111.4071e-002217.6314e-00325.8039e-002121.2977e-002227.2974e-00334.3139e-002131.2040e-002236.9913e-00343.4306e-002141.1229e-002246.7100e-00352.8468e-002151.0521e-002256.4501e-00362.4325e-002169.8963e-003266.2108e-003

7、72.1233e-002179.3419e-003275.9829e-00381.8837e-002188.8462e-003285.7998e-00391.6926e-002198.4005e-003295.4839e-003101.5368e-002207.9975e-003305.9140e-003§1.3误差实际问题的求解过程中，一般会产生误差。误差的产生是正常的，不可避免的。实际问题数学模型问题的解模型误差观测误差截断误差舍入误差本课程中，仅考虑数值计算过程所带来的误差，即截断误差和舍入误差。截断误差计算过程中，往往将解题方案加工成算术运算