利用分拆与合项证明数列不等式问题.pdf

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1、6中等数学利用分拆与合项证明数列不等式问题蔡小雄(浙江省杭州市第二中学,310053)(本讲适合高中)12又an=an-1+2an-1在数学解题中,巧妙地运用“分”(分拆)n与“合”(合项)的策略会收到意想不到的效

2、1×22×3(n-1)n(2)=n+1-n;n+1+n11111=1+1-+-+⋯+-(3)an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+223n-1n1⋯+(a2-a1)+a1;=2-.n(4)aan·an-1·⋯·a2·a因此,an2an.因此,(7)n(n+1)n+n-1211n=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

3、];an>an-1+2an-1·2an,3nn+n-1111111(8)即->2>-.n(n+1)(n+2)an-1ann+n-1nn+111111=-.故-2n(n+1)(n+1)(n+2)a1an例1已知数列{an}满足111111=-+-+⋯+-112a1a2a2a3an-1ana0=,an=an-1+2an-1.2n1111>-+⋯+-23nn+1n+1求证:an-1>0.3151n+2易知a1=,故<+<.4an6n+1n+1收稿日期:2007-12-062008年第5期71.2将已知条件直接分拆111114<4

4、=2-2对某些数列不等式问题,需要将已知条nn-12n-1n+1件中给出的等式或不等式直接进行分拆,再111<2-22n-1n+n根据目标的需要进行变形.111111例2数列{an}定义如下:=---.4n-1n+12nn+12a1=2,an+1=an-an+1.111111故Tn=14+24+⋯+n4求证:++⋯+<1.a1a2a20081111111<1++++---讲解:由已知条件得1681434nn+1an+1-1=an(an-1).111-对上式分拆变形得24n+111111111=1++++--=-.168112168an+1-1an-1an111111-则++

5、⋯+4nn+1a1a2a2008111111111<1++++-=-+-+168112168a1-1a2-1a2-1a3-1111111=1++<.⋯+-128110a2008-1a2009-1讲解2:当n≥5时,111=-=1-.11a1-1a2009-1a2009-140.3(n-3)(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)n因此,a2009>1.111故Tn<1++++1111681256故++⋯+<1.a1a2a2008111-评注:本题改编自第2届女子数学奥林

6、32×3×4(n-2)(n-1)n111111匹克试题1<1++++<..将上式中的an用代换,不难证16812567210an得2005年国家集训队测试题:讲解3:当n≥5时,11≤1<11-1.数列{an}定义如下:a1=,且an+1=n4n25252n-1n2a2111n(n=1,2,⋯).证明:对每一个正故Tn<1++++21681256an-an+11111111整数n,都有a1+a2+⋯+an<1.2-+-+⋯+-54556n-1n1.3通过放缩进行分拆111111=1++++-例3对于n∈N+,设1681256254n1111111111Tn=4+4+⋯+4.

7、<1++++×<.12n16812562541011讲解4:当n≥4时,求证:Tn≤.101114=22<22讲解1:当n≥4时,nnnn(n-1)8中等数学111行放缩则能出奇制胜.用分析法易证明:当k=2-22n-1(n-1)n114为正奇数时,有+