压缩感知中构造测量矩阵研究.pdf

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1、[摘要]1．引言香农采样定理理、存储、传输等，另外，为保证信息的安全传输，通常的加密Donoho给出测量矩阵要满足三个特性：技术是用某种方式对信号进行编码，其采样率不小于最高频(1)由测量矩阵的列向量组成的子矩阵的最小奇异值必须率的两倍。该理论指导下的信息获取、存储、融合、处理及传输大于一定的常数。其列向量有一定的线性独立性；等成为目前信息领域进一步发展的主要瓶颈之一，主要表现(2)测量矩阵的列向量体现类似于噪声的随机独立性；在两个方面：(1)数据获取和处理方面；(2)数据存储和传输方(3)满足稀疏度的解是1．范数最小的向量。面。众所周知，Nyquist采样率是信号

2、精确复原的充分条件，但这三个特性对矩阵的构造起着决定性作用。绝不是必要条件；除带宽可作为先验信息外，实际应用中的大选择测量矩阵时需满足三个条件：多数信号／图像中拥有大量的结构。(1)尽量少的数据量：近年来，由D．Donoho(美国科学院院士1、E．Can—(2)便于硬件实现和优化算法实现；des(Ridgelet，Curvelet创始人1及华裔科学家T．Tao等人提出(3)普适性。了压缩感知(compressedsensing，简称CS)理论_l_。压缩感知理3．测量矩阵的构造论表示：如果信号通过某种变换(如傅立叶变换，小波变换等)后，是可稀疏表示或可压缩的，则可设

3、计一个与变换基不相关构造测量矩阵分为随机测量矩阵和确定性测量矩阵，下的测量矩阵测量信号，得到的测量值通过求解优化问题，可实面将从这两方面来阐述构造方法。现信号的精确或近似重构。测量后，信号f由N维减少到M维3．1随机测量矩阵的构造(M<

4、MxN阶矩阵，H∈R，式(2)为其通项。2．构造测量矩阵的理论H(id)=—、／一h构建压缩矩阵的关键是测量矩阵的构造，它可由测量波M形和采样方式来决定。基于测量矩阵的普适性和实用性，矩阵的每个元素服从均值0，方差为1／＼／而的高斯分布，Candes等研究出著名的RIP(RestrictedIsometryPrinciple)理是一个随机性很强的矩阵，而且它与绝大多数正交稀疏矩阵论l3I，RIP理论成为压缩感知的奠基理论。不相关。缺点是不确定性高。RIP理论内容：假定x是长度为N、稀疏度为K的向量信贝努力矩阵构造方式：设R为MxN阶矩阵，矩阵的每个号，测量矩阵为R大

5、小为MxN，向量集合T∈{1,2AN}，且集元素服从贝努力分布，中=±1／、／_M的概率相等分别为1／2。合N中元素个数小于或者等于稀疏度K，矩阵R为测量矩阵(2)以傅里叶矩阵为代表，该矩阵是在一个NxM正交矩，由集合力T中元素所指向的列向量构成大小为MxT的子阵中随机抽取M行，再对每一行进行归一化处理所得。其中部矩阵，如果存在常数使以下不定式式(1)成立：分傅里叶矩阵运用了快速傅里叶变换。所以优点是计算速度(1—8K)JfXTlli≤fIRrxTll≤(1+8K)llXTJf；(1)快，缺点是其只能与时域或频域的信号不相关。我们就说矩阵具有K阶RIP性质，其O<8

6、<1中。傅里叶矩阵构造方式如式(3)：RIP尽管有完美的形式和丰富的内涵，然而无法使用它来w=√、／_N(3)作者简介：付强，男，山西临汾人，硕-5-。主要研究方向：图像处理。一39～刺捩采岛拆笼其中CO为l的n次方根的土值，大小为exp(一2-rri／N)，1／CIC2C3⋯Cnacncic2⋯Cn．1、／N为规化。随机抽取其中的M行向置，对MxN阶C：acnIacnci⋯Cn2(5)矩阵的列向量位化得到测量矩阵。ac2ac3ac4⋯cl(3)稀疏随机测量矩阵构造：首先成个零元素矩阵f3)哈达玛矩阵构造方式：构造‘个NxN的哈达玛R，在矩阵R中每‘个列向量中随机抽

7、取d个位置将其赋(内部元素是1和一1的矩阵)，随机的抽取M行向量，埘MxN值为1，d的取值为{4，8，10，16}。阶矩阵的列向量进行单位化，得剑测量矩阵。(4)1E交测量矩阵构造方式：构造‘个NxN的正交矩阵，(41多项式确定性矩阵，该矩阵由DonaldA．Devore提出。随机抽取M行向量，对MxN阶矩阵的列向量单位化得剑测量构造方式：首先确定多项式，Q(x)的系数取值范围为仃限。域F，F的元素个数为(1，2,3⋯4．．n．1)，此N=P个类似]3．1．2构造随机测黾矩阵改进方法0(x)的多项式，Q(x)本身是属于最高次幂数小Jr的多项式集以上阵大多数是随机