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1、一元函数连续性概念（复习）§3二元函数的连续性问题:1.一元函数在点连续的三个条件.2.一元函数的间断分类.设y=f(x)在x0邻域有定义。若则称f(x)在x0连续，否则称f(x)在x0间断。令则若f(x)在区间I的每一点连续，则称f(x)在区间I连续。其图象为一条连续的曲线.间断分类{第一类间断点{可去间断点：跳跃间断点：存在,但与f(x0)不等。f(x)在x0的左右极限存在，但不相等。第二类间断点：f(x)在x0的左、右极限至少有一个不存在。一、二元函数的连续性问题:3.二元函数在点连续定义中,对有何要求?是否要求其为D的
2、聚点?4.能否将二元函数在点连续定义表为:设D为平面点集，f(P)为定义在D上的二元函数,P0∈D.若则称f(P)关于集合D在点P0连续。5.命题判断:若为二元函数的孤立点,则在点连续.6.连续二元函数的图象,是否一定是连续的曲面?1、定义设D为平面点集，f(P)为定义在D上的二元函数,若对于任给的ε>0,相应存在δ>0,只要P∈U(P0;δ)∩D,就有
3、f(P)－f(P0)
4、<ε则称f(P)关于集合D在点P0连续。否则称P0是f(P)的不连续点（间断点）.P0∈D.若f(P)在D上的每一点都连续,则称f(P)在D连续.例1设
5、f(x,y)=2,(x,y)∈D，D={(x,y)
6、x=1/n,y=1/m,m,n=1,2,…10},f(x,y)在D是否连续？例2设f(x,y)关于直线y=mx在(0,0)上是否连续。例1设f(x,y)=2,(x,y)∈D，D={(x,y)
7、x=1/n,y=1/m,m,n=1,2,…10},f(x,y)在D是否连续？例2设f(x,y)关于直线y=mx在(0,0)是否连续。例3设f(x,y)关于在(0,0)是否连续。例1设f(x,y)=2,(x,y)∈D，D={(x,y)
8、x=n/10,y=m/10,m,n=1,2,…10},
9、f(x,y)在D是否连续？解：任意P0∈D，则P0为D的弧立点。存在δ>0,使U0(P0;δ)∩D=φ故对于任给的ε>0,取上述δ>0，只要P∈U(P0;δ)∩D,就有
10、f(P)－f(P0)
11、<ε（因为此时P=P0）所以，f(x,y)在D连续。f(x,y)的图象是否为D上连续的曲面?命题当P0为D的弧立点时，f(P)在P0连续。关于连续性的讨论，以后只考虑聚点的情形。设P0为D聚点.f(P)在P0连续（在不引起误会时，常作为连续定义）例2设f(x,y)关于直线y=mx在(0,0)是否连续。解:f(x,y)的定义域为且为D的聚点
12、,又所以f(x,y)关于直线y=mx在(0,0)连续。例3设f(x,y)关于在(0,0)是否连续。解:f(x,y)的定义域为且为D的聚点,因不存在,所以f(x,y)关于D在(0,0)不连续。f(P)的连续性与其定义域D有关。（同一个函数表达式，相对不同点集，其连续性结论可能不同）.间断分类.问题:7.二元函数在点连续的条件?8.二元函数间断点分为几类?依据是什么?f(x,y)在(x0,y0)，必须同时具备三个条件:1)f(x,y)在(x0,y0)有定义；存在;可去间断点:存在，但不等于f(x0,y0),或f(x,y)在(x0,
13、y0)无定义.不可去间断点:不存在.2、连续函数的性质问题:9.连续函数的局部有界性?10.连续函数的局部保号性?11.连续函数的四则运算性质?12.连续函数的复合运算性质?●局部有界性：若f(P)在P0连续，则存在U(P0),使f(P)在U(P0)有界。●局部保号性：若f(P)在P0连续，且f(P0)>0),则存在U(P0),当P∈U(P0)时，f(P)>0.●四则运算法则：若f(P),g(P)都在P0连续，则在P0连续,其中c为常数；当时,在P0连续.●定理16.7（复合函数的连续性）若1)和在P0(x0,y0)的邻域内有
14、定义，并在P0连续；2)在uv平面的Q0(u0,v0)的邻域内有定义，并在Q0连续；3)则，复合函数在P0(x0,y0)连续。证明分析:估计因f(u,v)在(u0,v0)连续，所以当很小时,很小.又和在P0(x0,y0)连续,所以当很小时,能使很小.●定理16.7（复合函数的连续性）若1)和在P0(x0,y0)的邻域内有定义，并在P0连续；2)在uv平面的Q0(u0,v0)的邻域内有定义，并在Q0连续；3)则，复合函数在P0(x0,y0)连续。证：f(u,v)在(u0,v0)连续：又φ和ψ在点P0连续，对上述有故当有故g(x,
15、y)在(x0,y0)连续。●初等函数在其定义上连续。●对于初等函数，在有定义处极限运算就是函数值的计算。●关于极限的计算，侧重在无定义处或分段函数分段点处的极限。3、连续定义的增量形式设f(x,y)在P0(x0,y0)的邻域有定义。记称为f(x,y)在P0的全增量.称为f(x
