2014-2015第一学期东城区高三数学期末数学统练理科带答案.doc

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1、东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充

2、分条件否是开始输入输出结束（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）设等差数列的前项和为，若，则等于（A）（B）（C）（D）（5）当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（A）（B）（C）（D）（6）已知函数若，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）9（7）在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标为分别为，，，．画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（A）（B）（C）（D）（8）已知圆，直线，点在直线上．若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是（A）（B）（

3、C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若抛物线的焦点到其准线的距离为，则该抛物线的方程为．（10）若实数满足则的最大值为_______．（11）在△中，，，，则；△的面积为_______．（12）已知向量，不共线，若（）∥（），则实数_______．（13）已知函数是上的奇函数，且为偶函数．若，则．（14）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形,，，分别为线段上的点．若，则三棱锥体积的最小值为.9三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证

4、明过程。（15）（本小题共13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．（16）（本小题共13分）已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为等比数列，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．（17）（本小题共14分）如图，平面，，，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值．9（18）（本小题共14分）已知函数，，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处

5、的切线方程；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）若存在，使得不等式成立，求的取值范围．（19）（本小题共13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证：为定值．（20）（本小题共13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束.（Ⅰ）试问数列经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明

6、理由；（Ⅱ）设数列，对数列进行“变换”，得到数列，若数列的各项之和为，求，的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由.9东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A（2）A（3）B（4）C（5）D（6）D（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）（11），（12）（13）（14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13

7、分）解：（Ⅰ）由图可得，，．…………2分所以．当时，，可得，因为，所以．…………5分所以的解析式为．………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以．……10分因为，所以．当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为．…13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为．　　　由，得．解得．所以．所以数列的通项公式为：．9由于是公比为等比数列，且，　　　　　所以．从而．……6分　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知．数列的前项和为，数列的前项和为．所以数列的前项和．…13

8、分（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为平面，平面，所以．因为，，所以平面．所以．因为，为的中点，所以．又所以平面．…………………5分（Ⅱ）如图，在平面内，作∥，则两两互相垂直，建立空间直角坐标系．则，．，，．设平面的法向量为，则，即令，则．所以．由（Ⅰ）可知为平面的法向量，设的夹角为，则．因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．…………10分（Ⅲ）设是线段上一点，且．即．所以．所以．由，得．因为，所以在线段上存在点，使得．此时，