三次函数性质的探索.doc

《三次函数性质的探索.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、三次函数性质的探索云南省昆明市粤秀中学　段培吉提要本文通过对一次函数、二次函数知识的回顾，利用几何画板为工具，对三次函数的单调性、有没有极值的问题进行探索研究，经过大量的实验验证，对函数的单调性、有没有极值可以运用函数f(x)的导数函数的判别式进行判断．从而找到了三次函数的性质，为进一步探索高次函数的性质提供了方法依据．为解决高考中三次函数单调性、极值以及借助极值证明不等式等问题找到了有效的解决方法．主题词探索三次函数的性质极值我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那

2、么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．并结合TI图形计算器任意输入几个不同的一次函数进行验证．接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：　　图1                            图2利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与

3、y轴相交的位置．应用用TI图形计算器任意输入几个不同的二次函数进行验证．那么，三次函数的图象是什么形状呢？单调性呢？是否存在极值？它有哪些性质呢？各组学生开始对函数图象可能单调递增、有极值等问题展开激烈讨论．接着让各小组利用TI图形计算器任意输入几个不同函数进行验证．学生马上输入许多不同的三次函数进行探索，经过各组学生探索后，综合他们的探索归纳发现函数有六类．如图：图3　　                     　　图4        图5                                图6图7                  

4、            图8分析：由图3函数有哪些特点呢？归纳：解析式是，整个定义域上函数单调递增，在图4中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值，函数必经过原点．单调性又与什么知识相关呢？导数，现在求出函数的导数是，验证与0的关系，当时，即的图象在是单调递增；当时，即的图象在是单调递减相一致．当，根据图象知道，在处不是函数f(x)的极值点．所以的根是函数取得极值的必要不充分条件．现在思考并验证函数与函数图象有什么关系？经过验证得出：函数与相同，当时函数图象是图象向上平移

5、d

6、个单位；当时函数图象是图象向下平移

7、d

8、个单位；函

9、数的导数都是．在图5中解析式是，整个定义域上函数单调递增．在图6中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值．函数的导数，经过验证在图5中因为即，所以的图象在是单调递增；在图6中因为即，所以的图象在是单调递减；函数都不存在极大值或极小值．为什么在图5中a>0、,在图6中a<0、呢？a>0、或a<0、是又有什么结果呢？因为导数是二次函数，当a>0、或a<0、时判别式，导数函数不小于0，方程有一个根．当a>0、或a<0、时，方程有两个根．那么函数图象有什么特点呢？猜想如果，那么有两根，函数f(x)应有增也有减，我们来验证一下图7、图8

10、：在图7中解析式是，在或上函数单调递增，在上函数单调递减；在处取得极大值，在处取得极小值；在图8中解析式是，在或上函数单调递减，在上函数单调递增；在处取得极小值，在处取得极大值，它们在上最大值和最小值．为什么呢？函数的导数是，设的两根是并且令．经过验证在图7中，因为，当或时，所以的图象在或是单调递增；在上，所以的图象在是单调递减．在图8中，因为，当或时，所以的图象在或是单调递减；在上，所以的图象在是单调递增．经过上述探索知道，函数在整个定义域上是单调递增（递减），左右都增中间递减，还是左右都减中间递增，是由a确定，b、c确定函数有没有极值、d确定函

11、数与y轴的交点．并且函数单调递增（递减）有没有极值与的导函数的判别式相关，具体归纳如下性质：设的导数是则，函数的判别式为：由导数的图象可知：时导数的图象　　　　　　　　　　　　时导数图象　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图10函数f(x)图象　　　　　　　　　　　　　　图11　　　　　　　　　　　　　　　　图12三次函数f(x)在R上是单调函数，（无极值）　　时的两根为且导数图象　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图13函数f(x)图象　　　　　　　　　函数f(x)图象　　图14

12、　　　　　　　　　　　　　　　　　　图151、时在或单调递增；在单调递减(如图14)在处取得极大值，在处取得极小值．2、时