三次函数的三大性质初探.doc

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1、三次函数的三大性质初探随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.1单调性三次函数,(1)若，则在上为增函数；(2)若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.证明,△=，(1)当即时，在R上恒成立，即在为增函数.(2)当即时，解方程，得或在和上为增函数.在上为减函数.由上易知以下结论:三次函数,(1)若，则在R上无极值；(2)若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.2根的性质三次函数

2、(1)若，则恰有一个实根；(2)若,且，则恰有一个实根；(3)若,且，则有两个不相等的实根；(4)若,且，则有三个不相等的实根.证明(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数或两极值同号，所以或，且.(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.由上易得以下结论：三次函数在上恒正的充要条件是(m≥x2),或且(m

3、的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.证1易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称.，当时，取得最小值，显然图象关于对称.证2设的图象关于点对称，任取图象上点，则A关于的对称点也在图象上,由上又可得以下结论：是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.证明的图象关于对称，则图象关于直线对称.若图象关于直线对称，则图象关于点对称.证明图象关于直线对称，则，，，图象关于点对称.掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的.