卡方分布及其它分布.doc

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1、卡方分布一、卡方分布的定义：若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-squaredistribution），其中参数n称为自由度。二、卡方分布的性质：:（1）(可加性)设~这里（2）证明（1）根据定义易得。（2）设其中因为代入（1），第一条结论可得证。直接计算可得于是58代入（2）便证明了第二条结论。三、卡方分布的概率密度函数：其中Dx为n维x空间内由不等式所定的

2、区域。即，Dz为n维x空间内以坐标原点为球心、为半径的球面所围成的区域（边界不在内）可以利用极坐标来计算这积分。令与这变换相应的函数行列式为：58其中括号和都表示的函数。因此。当z>0时，C是常数。为了定出C,在上述等式的两端令得到从而，在分母内的积分中令，即，用作代换，那么，这个积分等于因此，从而，当z>0时，即，的密度函数为58称这个密度函数所定的分布为自由度为n的分布，记作。它的图像如下：图（一）分布密度函数图四、卡方分布的累积分布函数为：，其中γ(k,z)为不完全Gamma函数。其图像如下：58图（二）分布的分布函数图五

3、、卡方分布的特征函数及其推导：特征函数：ψ(t)=f(x)dx=dx=六、论证过程中的心得体会：首先通过对卡方的研究和证明，提高了我们对数学的兴趣。其次，通过这次的推导和搜索资料进行分析，大大提高了我们的独立思考的能力，我们当中很多同学之前都很害怕类似的证明题，这一次的合力解决难题使我们信心倍增。当然同时，这个合作锻炼了我们团队合作的能力，分工合作解决问题，有的人负责收集资料，有点人负责推导公式，有的人负责输入文章，整理公式，等等。这让大家明白了团结的力量。做出合理的时间安排，做任何事情，合理的时间安排非常重要，多元课程设计也是

4、一样，事先要做好一个规划，课程设计一共分5个板块（定义，性质，特征函数，密度函数，分布函数，心得体会）。你每天要做完哪几个板块事先要确定好，这样做才会使自己游刃有余，保证在2周时间内内完成论文，以避免由于时间上的不妥，以致于最后无法完成论文。另外，写论文的过程中也使我们对论文的格式有了一个了解，更规范更具体，为以后的学业报告做了一次很好的准备。58论文属于科学性的文章，它有严格的书写格式规范，因此一篇好的论文一定要有正确的格式，论文格式错误就不能得到好成绩，因此我们写论文时要端正态度，注意书写格式。多元课程的设计更加是丰富了我们

5、的业余生活，让大家聚在一起讨论题目，其乐融融。这样的课程设计也能使我们找到志同道合的朋友，发现生活中的点滴数学趣事，从实际出发思考题目，同时我们对计算机的知识也有了一定的加深，matlab的使用等等。t分布的有关知识t分布的概述及其历史在概率论和统计学中，学生t-分布（Student'st-distribution）应用在当对呈正态分布的母群体的均值进行估计。它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t测定的基础。t检定改进了Z检定，不论样本数量大或小皆可应用。在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的样本

6、会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t检定。当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。学生t-分布可简称为t分布。其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。之后t检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称

7、为t变换t=，统计量t值的分布称为t分布。t分布的分布函数及证明用表示分布的分布函数，则58证明根据分布函数的定义有当时，上式为由于，故立即可得，为了计算，我们做变换则，因此故而当时，我们有然后利用刚刚的讨论可知综上所述便得我们所要的结论。t分布的密度函数及证明设为相互独立随机变量，服从正态服从自由度为的—分布，则t=58的密度函数为称是自由度为的—分布（或Student分布）的密度函数，证：首先，易知相互独立，事实上，故得证（其实，由商的密度函数为58证明过程用到公式t分布的w特征函为：t分布有如下特征：1、t分布是对称分布，

8、且其均值为02．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线，如图1。3、t分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为0。4、与标