卡方分布及其它分布

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时间:2018-04-14

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1、卡方分布一、卡方分布的定义:若n个相互独立的随机变量ξ1,ξ2,…,ξn,均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布),则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量,其分布规律称为χ2(n)分布(chi-squaredistribution),其中参数n称为自由度。二、卡方分布的性质::(1)(可加性)设~这里(2)证明(1)根据定义易得。(2)设其中因为代入(1),第一条结论可得证。直接计算可得于是57代入(2)便证明了第二条结论。三、卡方分布的概率密度函数:其中Dx为n维x空间内由不等式所定的区域。即,Dz为n维x空间内以坐标原点为

2、球心、为半径的球面所围成的区域(边界不在内)可以利用极坐标来计算这积分。令与这变换相应的函数行列式为:其中括号和都表示的函数。因此。当z>0时,57C是常数。为了定出C,在上述等式的两端令得到从而,在分母内的积分中令,即,用作代换,那么,这个积分等于因此,从而,当z>0时,即,的密度函数为称这个密度函数所定的分布为自由度为n的分布,记作。它的图像如下:57图(一)分布密度函数图四、卡方分布的累积分布函数为:,其中γ(k,z)为不完全Gamma函数。其图像如下:图(二)分布的分布函数图五、卡方分布的特征函数及其推导:57特征函数:ψ(t)=f(x)dx=dx=六、论证过

3、程中的心得体会:首先通过对卡方的研究和证明,提高了我们对数学的兴趣。其次,通过这次的推导和搜索资料进行分析,大大提高了我们的独立思考的能力,我们当中很多同学之前都很害怕类似的证明题,这一次的合力解决难题使我们信心倍增。当然同时,这个合作锻炼了我们团队合作的能力,分工合作解决问题,有的人负责收集资料,有点人负责推导公式,有的人负责输入文章,整理公式,等等。这让大家明白了团结的力量。做出合理的时间安排,做任何事情,合理的时间安排非常重要,多元课程设计也是一样,事先要做好一个规划,课程设计一共分5个板块(定义,性质,特征函数,密度函数,分布函数,心得体会)。你每天要做完哪几

4、个板块事先要确定好,这样做才会使自己游刃有余,保证在2周时间内内完成论文,以避免由于时间上的不妥,以致于最后无法完成论文。另外,写论文的过程中也使我们对论文的格式有了一个了解,更规范更具体,为以后的学业报告做了一次很好的准备。论文属于科学性的文章,它有严格的书写格式规范,因此一篇好的论文一定要有正确的格式,论文格式错误就不能得到好成绩,因此我们写论文时要端正态度,注意书写格式。多元课程的设计更加是丰富了我们的业余生活,让大家聚在一起讨论题目,其乐融融。这样的课程设计也能使我们找到志同道合的朋友,发现生活中的点滴数学趣事,从实际出发思考题目,同时我们对计算机的知识也有了

5、一定的加深,matlab的使用等等。57t分布的有关知识t分布的概述及其历史在概率论和统计学中,学生t-分布(Student'st-distribution)应用在当对呈正态分布的母群体的均值进行估计。它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t测定的基础。t检定改进了Z检定,不论样本数量大或小皆可应用。在样本数量大(超过120等)时,可以应用Z检定,但Z检定用在小的样本会产生很大的误差,因此样本很小的情况下得改用学生t检定。在数据有三组以上时,因为误差无法压低,此时可以用变异数分析代替学生t检定。当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时,我们可以运用学生t-分布。学

6、生t-分布可简称为t分布。其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表,当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表,所以论文使用了学生(Student)这一笔名。之后t检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大,而正是他将此分布称为学生分布由于在实际工作中,往往σ是未知的,常用s作为σ的估计值,为了与u变换区别,称为t变换t=,统计量t值的分布称为t分布。t分布的分布函数及证明用表示分布的分布函数,则证明根据分布函数的定义有当时,上式为由于,故立即可得,为了计算,我们做变换则,因此57故而当时,我们有然后利用刚刚的讨论可知综上所述便得我们所要的结论。

7、t分布的密度函数及证明设为相互独立随机变量,服从正态服从自由度为的—分布,则t=的密度函数为称是自由度为的—分布(或Student分布)的密度函数,证:首先,易知相互独立,事实上,57故得证(其实,由商的密度函数为证明过程用到公式t分布的w特征函为:t分布有如下特征:1、t分布是对称分布,且其均值为02.t分布是一簇曲线,其形态变化与n(确切地说与自由度ν)大小有关。自由度ν越小,t分布曲线越低平;自由度ν越大,t分布曲线越接近标准正态分布(u分布)曲线,如图1。3、t分布是一个分布族,对于不同的样本容量都对应不同的分布,且其均值都为0。574、与标

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