概率论和数理统计 参数估计点估计

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1、第三章参数估计一、点估计二、估计量的评选标准三、区间估计1一、矩估计法1、方法思想将要估计的总体参数表示成总体X的矩的函数，然后用样本的相应的矩的函数作为其估计量进行估计。----这种估计方法称为矩估计法。1x,0x1例1已知总体的概率密度为f(x)0,其它试由样本(X,X,…,X)估计参数。12n也可以建立参数与E(X2)的关系…分析：1、参数与总体的矩有什么关系？1E(X)计算E(X)不难得到：1即E(X)xxdx,11E(X)02、如何利用样本来估计E(X)，进而估计参数？X用样本均值X（一

2、阶矩）来估计E(X)！的估计量为ˆ1X2一般地，若总体X的概率分布含有k个未知参数,,…,则总体X12k的l阶（原点）矩存在，且应为,,…,的函数：=(,,…,),l12kll12kEX(l)(,,,),lk1,2,,lk12此方程组的解(,12,,k)，用相应的样本矩Al估计l，得(ˆ1,ˆ2,,ˆk)就称为参数1,2,…,k的矩估计量。2、理论依据用样本的矩来推断总体相应的矩，其理论依据为“大数定律”——若总体X的k阶（原点）矩存在，则当样本容量n充分大k时，样本的k阶矩M依

3、概率收敛于kk。3、方法步骤1）建立待估参数与总体的矩之间的关系式；2）解方程组，解得参数用总体矩表示的关系式。3）用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到的估计量。代入样本值得到的估计值。3例2设灯泡厂从某天生产的一大批灯泡中随机抽取10只进行寿命试验，测得数据如下（单位：小时）：1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200;试估计该批灯泡的平均寿命及寿命分布的标准差。析：需要估计的是总体的均值和标准差；①它们与总体的（原点）矩之间的关系？其中本身就是总体的一阶矩；而标准

4、差呢？D(X)而D(X)=E(X2)-E2(X),或者：D(X)就②用相应的样本矩取代总体矩得到估计量：是总体的二阶1n中心矩！ˆXiX,ni11n1n22222ˆXi(X)(XiX)M2nni1ni1即ˆn4例3设总体X服从[a,b]上的均匀分布，a,b未知.X,X,…,X是来自总体12nX的样本，试求a,b的矩估计量.析：①待估参数与总体的（原点）矩之间有何关系？对于均匀分布而言，我们熟知：2ab(ba)22E(X),D(X)E(X)[E(X)]212②如何得到估计量？2用A取代E(X

5、),用A取代E(X),联立两式解方程组...12思考该题做法唯一吗？5二、最大似然估计1、基本原理若在一次观察中一个事件出现了，那么此事件的概率应该较大。思考：有一个事件A，如果我们只知道它发生的概率P(A)有三种可能：0.1、0.6和0.99；在一次观测中，这一事件确实发生了，此时我们应当倾向于认为P(A)=?若A发生的概率有更多种可能的选择呢？当我们用样本估计总体的参数时，应让参数取能使所观测到的样本出现的概率最大的那个值。62、基本思想设总体X的分布已知，记为f(x,)（若X为离散型随机变量，则f(x,)为P{X=x}），其中为待估

6、参数，则总体X的样本(X,X…,X)12nn的联合概率密度为nf(xi;)或P(Xixi)i1i1对应具体的一次样本实现（x,x,…x），记12nnnf(xi;)L()或P(Xixi)L()i1i1称L()为似然函数;nP{(依X1“,X基本原理2,,Xn)”(,x此时的1,x2,,Lx(n)})应当取到的是最大值?P(Xixi)L(.)故的值应当是使得L()取到最大值的点。i1L(-----)描述了样本这种求参数(X,X,估计值的方法，就称为…,X)取值为（x，x，…最大似然估计法x）

7、的可能性大小。！12n12n由此方法而求出的参数的估计值，称为的最大似然估计值，相应的估计量为最大似然估计量。73、方法步骤把分布率写成①写出似然函数L()；这种形式很必②求似然函数L()的最值（极值）。要！（注：通常转为求LnL()的极值更方便）例4已知X～b(1,p),(X,X,…,X)为一个样本，求p的最大似然估计量。12n解：X的分布率为P{X=x}=px(1-p)1-x，x=0，1，nnnL(p)pxi(1p)1xixinxi故似然函数pi1(1p)i1i1nndLnL(p)(xi)Lnp(nx

8、i)Ln(1p)令LnL(p)0,i1i1dp1n可得pˆxix故p的最大似然估计量为pˆXni18说明