概率论和数理统计-参数估计点估计.ppt

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1、一、矩估计法1、方法思想1将要估计的总体参数表示成总体X的矩的函数，然后用样本的相应的矩的函数作为其估计量进行估计。----这种估计方法称为矩估计法。例1已知总体的概率密度为试由样本(X1,X2,…,Xn)估计参数。分析：1、参数与总体的矩有什么关系？计算E(X)不难得到：2、如何利用样本来估计E(X)，进而估计参数？用样本均值（一阶矩）来估计E(X)！也可以建立参数与E(X2)的关系…2一般地，若总体X的概率分布含有k个未知参数1,2,…k,则总体X的l阶（原点）矩l存在，且应为1,2,…,k的函数：l=l(1,2,…,

2、k),2、理论依据用相应的样本矩Al估计l，得用样本的矩来推断总体相应的矩，其理论依据为“大数定律”——若总体X的k阶（原点）矩k存在，则当样本容量n充分大时，样本的k阶矩Mk依概率收敛于k。3、方法步骤1）建立待估参数与总体的矩之间的关系式；2）解方程组，解得参数用总体矩表示的关系式。3）用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到的估计量。代入样本值得到的估计值。此方程组的解，就称为参数1,2,…,k的矩估计量。例2设灯泡厂从某天生产的一大批灯泡中随机抽取10只进行寿命试验，测得数据如下（单位：小时）：1050,1100,1080

3、,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200;试估计该批灯泡的平均寿命及寿命分布的标准差。3析：而D(X)=E(X2)-E2(X),需要估计的是总体的均值和标准差；其中本身就是总体的一阶矩；而标准差呢？①它们与总体的（原点）矩之间的关系？②用相应的样本矩取代总体矩得到估计量：或者：D(X)就是总体的二阶中心矩！4例3设总体X服从[a,b]上的均匀分布，a,b未知.X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，试求a,b的矩估计量.析：①待估参数与总体的（原点）矩之间有何关系？②如何得到估计量？对于均匀分布而言，我们熟知：思考该题

4、做法唯一吗？二、最大似然估计1、基本原理5若在一次观察中一个事件出现了，那么此事件的概率应该较大。思考：有一个事件A，如果我们只知道它发生的概率P(A)有三种可能：0.1、0.6和0.99；在一次观测中，这一事件确实发生了，此时我们应当倾向于认为P(A)=?若A发生的概率有更多种可能的选择呢？当我们用样本估计总体的参数时，应让参数取能使所观测到的样本出现的概率最大的那个值。62、基本思想设总体X的分布已知，记为f(x,)（若X为离散型随机变量，则f(x,)为P{X=x}），其中为待估参数，则总体X的样本(X1,X2…,Xn)的联合概率密度为对应具

5、体的一次样本实现（x1,x2,…xn），记称L()为似然函数;L()描述了样本(X1,X2,…,Xn)取值为（x1，x2，…xn）的可能性大小！依“基本原理”,此时的L()应当取到的是最大值.故的值应当是使得L()取到最大值的点。-----这种求参数估计值的方法，就称为最大似然估计法。由此方法而求出的参数的估计值，称为的最大似然估计值，相应的估计量为最大似然估计量。3、方法步骤①写出似然函数L()；②求似然函数L()的最值（极值）。（注：通常转为求LnL()的极值更方便）7例4已知X～b(1,p),(X1,X2,…,Xn)为一个样本，

6、求p的最大似然估计量。解：故p的最大似然估计量为X的分布率为P{X=x}=px(1-p)1-x，x=0，1，故似然函数把分布率写成这种形式很必要！8说明：最大似然估计法可推广至分布中含有多个未知参数的估计。解:似然函数为得最大似然估计值为X的概率密度为例5设总体X～N(，2),,2均未知,(x1,x2,…,xn)为X的样本值,求,2的最大似然估计值.9例6已知总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b未知(X1,X2,…,Xn)是一个样本。试求a,b的最大似然估计量。析：X的概率密度为似然函数为无解！基于已有的样本(X1,X2,…,Xn)，b-a

7、能任意的小吗？？10解：似然函数为若将x1,x2,…,xn按由小到大重新排序，记为而相对于给定的样本值来说，例7已知总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b未知(X1,X2,…,Xn)是一个样本。试求a,b的最大似然估计量。11解:由密度函数知具有均值为的指数分布例8设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本,X的密度函数为其中>0,求的矩估计.解得用样本矩代替得12例9设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的极大似然估计.解：似然函数为i=1,2,…,n对数似然函数为对分别求偏导并令其为0,由似然函数得，对且是的增函数,因此使达到最大即极

8、大似然估计为的极大似然估计易得：因此：