一类具有标准发生率的SIR传染病模型的全局分析.pdf

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1、第２４卷第５期高等函授学报（自然科学版）Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５２０１１年１０月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）２０１１·大学教学·一类具有标准发生率的ＳＩＲ传染病模型的全局分析徐娟（扬州工业职业技术学院基础部，江苏扬州２２５００７）摘要：根据传染病在不同阶段的特点以及染病者相互可以转化的特性，建立了一类具有标准发生率的ＳＩＲ传染病模型。借助再生矩阵求得了模型的基本再生数，并讨论了平衡点的存在性和全局稳定性。关键词：传染病模型；平衡点；全局稳定性中图分类号：Ｏ１７５文献标

2、识码：Ａ文章编号：１００６－７３５３（２０１１）０５－００６１－０２点：Ｍ（０，０），Ｍ（Ｓ＊，Ｉ＊）１模型０１建立传染病动力学模型对传染病的流行规律（）－（）２（）其中Ｓ＊＝βεμ＋ｂμ＋ｂμ＋ε，Ｉ＊（）进行定性定量的研究是一种重要方法。本文研究βεμ＋ｂ＋ε的是具有标准发生率的ＳＩＲ模型，ｘ（ｔ），ｙ１（ｔ），＝βε－（μ＋ε）（μ＋ｂ）（）βμ＋ｂ＋εｙ２（ｔ）分别表示ｔ时刻易感者和两类染病者的人数，ｙ１染病但不具传染力，ｙ２具有传染力，且ｙ１定理１令Ｒ０＝βε（）（）μ＋εμ＋ｂ会向ｙ２转化。当Ｒ０１时，系统（２）有唯一无病平衡点烄

3、βｘｙ２Ｍｘ′（ｔ）＝Ａ－μｘ－０（０，０）；Ｎ当Ｒ０１时，系统（２）除Ｍ０外还有地方病平烅βｘｙ２（１）ｙ′１（ｘ）＝－μｙ１－εｙ１衡点Ｍ（Ｓ＊，Ｉ＊）；Ｎ１烆ｙ′２（ｘ）＝εｙ１－μｙ２－ｂｙ２３平衡点的局部稳定性其中Ａ为种群输入率，μ为自然死亡率，ｂ为定理２当Ｒ０１时，无病平衡点Ｍ０（０，０）因病死亡率，ε为ｙ１类向ｙ２类的转化率。局部渐近稳定。对系统进行无量纲变换：证明系统（２）在Ｍ０处的线性近似系统对ｘｙ１ｙ２应的系数矩阵是：Ｘ＝，Ｓ＝，Ｉ＝ＮＮＮ－（μ＋ε）βＪ（Ｍ０）＝［］则Ｘ＋Ｓ＋Ｉ＝１）ε－（μ＋ｂ则系统等价于则Ｊ（Ｍ０

4、）对应的特征方程为Ｓ′＝β（１－Ｓ－Ｉ）Ｉ－（μ＋ε）Ｓλ２＋［（μ＋ε）＋（μ＋ｂ）］λ＋（μ＋ε）（μ＋ｂ）－（２）｛Ｉ′＝εＳ－（μ＋ｂ）Ｉβε＝０系统（２）的正向不变集为：（）＋（）μ＋εμ＋ｂλ１＋λ２＝－０，λ１λ２＝（μＤ＝｛（Ｓ，Ｉ）Ｓ≥０，Ｉ≥０，Ｓ＋Ｉ≤１｝２２平衡点的存在性＋ε）（μ＋ｂ）－βε令系统（２）右端等于零易得系统有两个平衡由Ｒ０１可得λ１λ２０，特征方程有两个负收稿日期：２０１１－０７－０５．作者简介：徐娟（１９８２－），女，江苏高邮人，在读硕士研究生，助教，研究方向：常微分方程．６１第２４卷第５期高等函

5、授学报（自然科学版）Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５２０１１年１０月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）２０１１实根，则Ｍ０局部渐近稳定。趋于平衡点Ｍ０；定理３当Ｒ０１时，正平衡点Ｍ１存在且结合Ｍ０的局部稳定性知Ｍ０是全局渐近稳局部渐近稳定。定的。证明系统（２）在Ｍ１处的Ｊａｃｏｂｉ矩阵是定理５当Ｒ０１时，正平衡点Ｍ１在Ｄ内全＊＊＊－βＩ－（μ＋ε）β－βＳ－２βＩＪ（Ｍ１）＝［］局渐近稳定。）ε－（μ＋ｂ１＊证明取Ｄｕｌａｃ函数，Ｂ（Ｓ，Ｉ）＝ｔｒＪ（Ｍ１）＝－βＩ－（μ＋ε）

6、－（μ＋ｂ）０Ｉ＊ｄｅｔＪ（Ｍ１）＝［βＩ＋（μ＋ε）（］μ＋ｂ）－ε（β（ＢＰ）＝－β－１（）０＊＊）μ＋ε－βＳ－２βＳＩＳＩ（）（）＝βε－μ＋εμ＋ｂ＋（μ＋ε）（μ＋ｂ）－（ＢＱ）＝－εＳ０［μ＋ｂ＋ε］ＩＩ２（）－（）２（）ε［β－βεμ＋ｂμ＋ｂμ＋ε－即系统（２）在Ｄ内无周期解。结合局部稳定ε（μ＋ｂ＋ε）性知Ｍ１是全局渐近稳定的。２βε－２（μ＋ε）（μ＋ｂ）１］＝［（）－（）βεμ＋ｂ通过上述模型的分析，可得出：μ＋ｂ＋εμ＋ｂ＋ε２２（μ＋ε）（μ＋ｂ）＋（μ＋ε）（μ＋ｂ）（μ＋ｂ＋ε）当Ｒ０１时，仅存在

7、无病平衡点且无病平衡２－βε（μ＋ｂ＋ε）＋βε（μ＋ｂ）＋２βε－２ε（μ＋ε）（μ点是全局渐进稳定的，即该传染病最终在该地区＋ｂ）］灭绝。１［２（μ＋ｂ＋ε）（μ＋ｂ）（μ＋ε）当Ｒ时，地方病平衡点全局渐近稳定，＝２－０１βε（μ＋ｂ＋ε）μ＋ｂ＋εβε该传染病在该地区流行成为地方病，为了防止该－１］１（）（）疾病在该地区长期流行，结合Ｒ０的表达形式，可＝［１－μ＋ｂμ＋ε］（）２βεμ＋ｂ＋εβε以采取对患者隔离，减少人员去公共场所等方式＝１［１－１］减小传染率，使系统的消除平衡点Ｍ０具有良好（）２βεμ＋ｂ＋εＲ０的全局性，这样疾病终

8、将消除。由假设Ｒ０１知ｄｅｔＪ（Ｍ１）０另外，提高接种率和治愈率对传染病的控制结合ｔｒＪ（Ｍ１）０由Ｒｏｕｔｈ－Ｈｕｒｗｉｔｚ判别也能起到积极作