复变函数(第四版)课后习题答案.pdf

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1、习题一解答1.求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。113i(3+4i)(2−5i)821(1);(2)−;(3);(4)i−4i+i3+2ii1−i2i13−2i1解(1)==()3−2i3+2i()3+2i(3−2i)13所以⎧1⎫3⎧1⎫2Re⎨⎬=,Im⎨⎬=−,⎩3+2i⎭13⎩3+2i⎭132211()1⎛3⎞⎛3⎞13=3+2i,=⎜⎟+⎜−⎟=,3+2i133+2i⎝13⎠⎝13⎠13⎛1⎞⎛1⎞Arg⎜⎟=arg⎜⎟+2kπ⎝3+2i⎠⎝3+2i⎠2=−arctan+2kπ

2、,k=0,±1,±2,?313i−i3i(1+i)135(2)−=−=−i−()−3+3i=−i,i1−ii()−i()1−i(1+i)222所以⎧13i⎫3Re⎨−⎬=,⎩i1−i⎭2⎧13i⎫5Im⎨−⎬=−⎩i1−i⎭222⎛13i⎞3513i⎛3⎞⎛5⎞34⎜−⎟=+i,−=⎜⎟+⎜−⎟=,⎝i1−i⎠22i1−i⎝2⎠⎝2⎠2⎛13i⎞⎛13i⎞Arg⎜−⎟=arg⎜−⎟+2kπ⎝i1−i⎠⎝i1−i⎠5=−arctan+2kπ,k=0,±1,±2,?.3()3+4i(2−5i)()3+

3、4i(2−5i)(−2i)(26−7i)(−2i)(3)==2i()2i(−2i)4−7−26i7==−−13i22所以⎧()3+4i(2−5i)⎫7Re⎨⎬=−,⎩2i⎭2⎧()3+4i(2−5i)⎫Im⎨⎬=−13,⎩2i⎭1⎡()3+4i(2−5i)⎤7⎢⎥=−+l3i⎣2i⎦2()3+4i(2−5i)529=,2i2⎡()3+4i(2−5i)⎤⎡()3+4i(2−5i)⎤26Arg=arg+2kπ=2arctan−π+2kπ⎢⎥⎢⎥⎣2i⎦⎣2i⎦726=arctan+()2k−1π,k=

4、0,±1,±2,?.782124210410(4)i−4i+i=(i)−4(i)i+i=()−1−4()−1i+i=1−4i+i=1−3i所以{821}{821}Rei−4i+i=1,Imi−4i+i=−3⎛⎜i8−4i21+i⎞⎟=1+3i,

5、i8−4i21+i

6、=10⎝⎠821821Arg(i−4i+i)=arg(i−4i+i)+2kπ=arg(1−3i)+2kπ=−arctan3+2kπk=0,±1,±2,?.x+1+i(y−3)2.如果等式=1+i成立,试求实数x,y为何值。5+3i解:由

7、于x+1+i(y−3)[x+1+i(y−3)](5−3i)=5+3i()5+3i(5−3i)5(x+1)+3(y−3)+i[−3(x+1)(+5y−3)]=341=[]5x+3y−4+i()−3x+5y−18=1+i34比较等式两端的实、虚部,得⎧5x+3y−4=34⎧5x+3y=38⎨或⎨⎩−3x+5y−18=34⎩−3x+5y=52解得x=1,y=11。-13.证明虚单位i有这样的性质:-i=i=i。4.证明21)

8、zz

9、=z@116)Re(zz)=(+=z),Im(z)(z−z)22i2证明

10、:可设zx=+iy,然后代入逐项验证。225.对任何z,z=

11、z

12、是否成立?如果是,就给出证明。如果不是,对z那些值才成立?22解:设zx=+iy,则要使z=

13、z

14、成立有22222222x−+yx2iy=x+y,即xy−=x+y,xy=0。由此可得z为实数。n6.当

15、z

16、≤1时,求

17、z+a

18、的最大值,其中n为正整数,a为复数。argai解:由于zn+a≤

19、z

20、n+

21、a

22、≤1+

23、a

24、,且当z=en时,有narga⎛i⎞

25、zn+a

26、=⎜en⎟+

27、a

28、eiarga=()1+aeiarga=1+

29、a

30、⎜⎟

31、⎝⎠故1+

32、a

33、为所求。8.将下列复数化成三角表示式和指数表示式。(1)i;(2)-1;(3)1+3i;()22icos5ϕ+isin5ϕ(4)1−cosϕ+isinϕ(0≤ϕ≤π);(5);(6)3−1+i()cos3ϕ−isin3ϕπππi解:(1)i=cos+isin=e2;22iπ(2)−1=cosπ+isinπ=eπ⎛13⎞⎛ππ⎞i(3)1+i3=2⎜+i⎟=2⎜cos+isin⎟=2e3;⎜⎝22⎟⎠⎝33⎠2ϕϕϕϕ⎛⎞ϕϕ(4)1−+cosϕϕisin=2sin+i2sincos

34、=2sin⎜⎟sin+icos2222⎝⎠22π−ϕϕ⎛π−ϕπ−ϕ⎞ϕi=2sincos+isin⎟=2sine2,(0≤ϕ≤π);⎜2⎝22⎠22i1⎛11⎞(5)=2i()−1−i=1−i=2⎜−i⎟⎜⎟−1+i2⎝22⎠⎛ππ⎞=2⎜cos−isin⎟⎝44⎠π−i=2e42()cos5ϕϕ+isin5i5ϕ23−−i3ϕϕi10i9ϕi19ϕ(6)3==()e/(e)e/e=e()cos3ϕϕ−isin33=cos19ϕ+isin19ϕ9.将下列坐标变换公式写成复数的形式

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