《非定常线性双曲方程的差分──间断Galerkin方法及其稳定性》.pdf

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1、北京广播学院学报(自然科学版)1999一1(总26期)非定常线性双曲方程的差分n间断Galerki方法及其稳定性—赵建丛康彤(河北农业大学)(北京广播学院)nt摘要】本文针对昨定常线性双曲方程建立了对时间进行差分离散的间断Galerki,。—格式并对该格式进行了德定性分析习aern【关键词】卜定常有限元间断Glki方法—1己!侣旨工J二J二.,nLesia间断Galerik方法是Pnt等人于七十年代中期提出的一种新型有限元方法2[]阁由,于这种方法具有良好的稳定性和高阶计算精度近些年来已成为求解双曲方程的一种新型数值解法。但在现有的文

2、献中,关于非定常双曲方程的讨论都是采用将时间变量与空间变量等同,,、对待进行剖分转化为定常问题来讨论这样虽然使关于时间空间的精度能够很好地统一起,,,,来但由于增加了空间维数使实际计算难度增大尤其对空间区域为二维和三维的问题计算。,Euler难度很大本文针对非定常双曲方程采用了对时间变量进行差分离散(向后离散)在空,aernaernFiniteereneeseontnuousaern间上采用间断Glki方法即差分间断Glki法(压ffniGlki,,。method以下简称FD一L减;法)这种方法能够使计算得到简化2问题与记号,。“,。

3、`,n仁Rlve空co(n)一{v本文讨论二维问题假设是有界区域刃是其边界oSbo间Wvl,,,,l任Lco(n)}vco。-”一”一“一vvD其范数1}}1了l0t,,n半范数为},l}}aDol其鹊槽一,,,。,。vco。=esssupvHm(n)P=2msobolev中1111I!表示的阶空间日.,二,,:,,“,X中t)oTXL(oT;x假设为aBnach空间其范数用!1}I表示映射x([」~记}}叫},T.:1.「··tt`/2Zx)L一(。T二)。。)d)=甲L(;?一,(`)}一甲x)o一气J}!甲}}呈(}}11j}{

4、111}ILco(羚本文考虑以下非定常一阶双曲方程的第一边值问题(A),,,,,X,·。X,UX,X,。+,()二+()一,()()。“x:T〕.(21)瓮,,,一,.u=g(xt)x任(t)t任oT22[〕()北京广播学院学报(自然科学版)1”9一1(总26期).,。u(xO)=u(x)xe口(23),,,l,,2,,,,,xt)=(p(xt)(xt))。一(t);一(t)={x任(xt)n(x)(其中p(日称为内流边界定义为泊p·,。,,,,。,on(x)为n的+(t)={x〔xt)n(x))o}为外流边界;一}外法向类似地定义刃

5、p(显然。(t)Ur+(t)=刃、,:关于问题(A)的解系数及右端项假定满足条件I,,,,,,,a)t任oT(xt)任co(n)i=12;对任意〔〕尽W,,,,b)t任oT。(xt)任,。(。)e();对任意[〕w门瓦,,Z,,,,。r`e)f(xt)任L`(oT;L(n))g(xt)任L叻(oT;LZ(r一(t))u(x)任H+(n);初始条件,,r`,_d)问(A)uu任L一(oT;+(n))e(义oT)面题的解存在且唯一并满足H门瓦〔〕二丁七dI,r。Lco(0T;H+l(n))r,,。一(t)随ttt由于着的不同而变化因而随着

6、的改变需要对n采取不同的剖分首先在。,,,。,,一t一。时对n采取拟一致三角剖分用T留表示其网格参数为h假定对任一t任[oT〕及r,,,。tl,一(t)nThP对均采用拟一致三角剖分k并要求每次剖分的网格参数均满足簇h/h0(P,。,l,,,,其中PP为两个确定的正常数为了记号简单对于每次剖分T乱用K表示其剖分单元水,,,ZT,,,Ky(一(下yxt)丫表示的边界x)(x)x())表示溅的单位外法向定义冰一x{任aK队,,,,,、、(x)<0}+一{x任xt)yx())0}一+一+刁K一K溅溅阿则溅冰U冰并称溅为单元的内外流边界。,:

7、Z,r,,设v卜为基于剖分T盆的分片多项式空间记为v叔一v{任L(。)v}k任P(k)Vk任T乳},r。r这里P(k)为单元K上的次多项式空间,,`,,。,对于时间区间[oT〕令步长△t一kho2/k为适常选定的常数从t一t一。开始剖分则,。lZN,,N,,,,,,oT。=ttttt=n△tn一。1NN=T△t区间[〕剖分为<<<⋯<镇T其中⋯[/j则对。、一n、n,,tn,tnr(t);+,(t)应于每个的的内外流边界为拟一致三角剖分为T补网格参数为h分,,”,”,n,,,,,,。r一;+,n1片多项式空间为V梦为简便以上符号简记为

8、hVR其中一。⋯N,,nn,,nn,,。,,。n,,nn,,nu(xt)=uU(xt)=Uxt)=尸。(xt)一。f(xt)=fg(xt)=为方便简记日(n。g`,,vx假设l为相邻单元K和K的公共边界对任意的任V歌(n