一类非线性二重分数阶方程解的存在唯一性.pdf

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1、摘要本文考虑如下带有Riemann-Liouville微分算子的非线性二重分数阶方程的初值问题DQ2(IDnl可(z)Ip-2DQl1，(z))=f(x，可(z))，lim。．jl-a2(IDal可(z)lp-2DQl∥(z))=bl，Z—}U1-1im。．jl-aly(x)=bo，z—÷0+其中01，bo≥0，bl≥0．我们首先借助于Schauder不动点定理建立了上述问题解的存在性，然后利用W．eissinger不动点定理证明了解的唯一性．关键词：分数阶微分方程，存在性，唯一性ABSTRACTInthispaper，weconsiderthenonlinearfrac

2、tionalorderdiffer-entialequationinvolvingRiemann—LiouvilledifferentialoperatorsoftheformD＆2(IDQly(．)lp-2DQl可(z))=f(x，可(z))，equippedwiththeinitialconditionszljim。+jl-a2(IDdl可(z)lp一2Dal可(z))=b1，lim。jl-al可(z)=b0，o—÷0+’where0<0／1，0／2<1，P>1，b0≥0，bl≥0．First，bymeansoftheSchauderfixedpointtheoremweestablish

3、theexistenceofsolutionsfortheaboveproblem．ThenweutilizetheWeissingerfixedpointtheoremtoprovetheuniqueness．KeyWords：Fractionaldifferentialequation，existenceanduniqueness．摘要ABSTRACT1引言目录2预备知识82．1分数阶导数的几个相关定义．．．．．．．．．．．．82．2几个预备命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．82．3两个重要不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．122．4Schauder不动点定N币EIW

4、eissinger不动点定理．123解的适定性3．1存在性3．2唯一性参考文献致谢3793612§1引言分数阶微分方程起源于1695年，近年来特别引人注目．它的研究不但具有重要的理论价值，而且在物理、生物、化学等多个科学领域还有着十分广泛的应用价值1281．分数阶微分方程具有深刻的物理背景和丰富的理论内涵．我们先回顾一下分数阶导数的起源，然后再介绍分数阶方程的一些物理背景．分数阶导数由来已久，这可以追溯至U1695年Leibniz给L’Hospital的-封信．他在信中提到，若礼=互1，符号券．厂(z)是什么意思呢?同一年在Leibniz给Bernoulli的信件中也提到类似问题．这个问题引起

5、了很多大数学家的兴趣，Euler，Lagrange，Abel都考虑过并提出了相关见解，]菲U1812年Laplace禾rJ用积分给出了一个分数阶导数的定义．20世纪后期，有很多领域都用到了分数阶微分理论，比如连续力学和统计学，布朗运动以及分数阶扩散方程，描述种群繁殖的数学模型．分数阶微分方程就在这些数学模型和系统的模拟的基础上出现了．它比整数阶微分方程更能精确的描述微观世界，因此对分数阶微分方程的研究就更有价值了，不但具有重要的理论价值，而且还具有非常广泛的应用价值．下面回顾分数阶微分方程的几个具体背景．作为例子我们首先考虑分数阶动力学系统在控制理论中的应用，解决控制理论中的问题需要分数阶动力

6、学系统中时域分析的新的有效的方法，作为古典尸，D控制器的一个概括，Podlubny发现分数阶动力学系统中的P，ADp控制器的思想，包括分数阶微分和分数阶积分是一个更加有效的控制，在他的书中已经成功的运用了分数阶控制论去发展了一个在控制论的应用中的非常有趣的一个例子一CR0ⅣE控制器，他证明7"CRONE控制器比古典的PJD控制器更有优势而且还展现了PjADp控制器比起古典PID控制器有个更好的性能记录．在时域中，动力学系统可以用如下分数阶微分方程来描述匹an_kD啡‘№)=邢)，k=O其中Q几一路>d％一七一1，(尼=0，1，2，．．．，n)是任意实数．Cole[28】研究生物细胞电传导问题时

7、，提出了“膜电抗"的概念，它的传递函数Nx(w)=Xow(一训，0