关于Kitai标准的一个注记-论文.pdf

《关于Kitai标准的一个注记-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、合J学统学报(自然科学版)JournalofHefeiUniversity(Natura1Sciences)2014年8月第24卷第3期Aug．2014Vo1．24No．3关于Kitai标准的一个注记姚玉武，闰晓辉(合肥学院数学与物理系合肥230601)摘要：利用紧算子的谱性质，证明了Banach空间中连续情形下Kitai标准的高阶形式．设a：R—B(x)是无限维Banach空间X上R一的一个线性作用，如果对每∈R”}，)是x上的一个紧算子，那么作用不可能是超循环的．关键词：Banach空间；超循环；紧算子；谱中

2、图分类号：0177．2文献标识码：A文章编号：1673—162X(2O14)O3一OOO1一O2ANoteonKitai，STheoremYAOYu—WU，YANXiao-hui(DepartmentofMathematicsandPhysics，HefeiUniversity，Hefei230601，China)Abstract：AhigherrankversionofKitai’Scriterionforcontinuouscaseisstudied．Leta：R+”B(x)bealinearactionof

3、R+onaninfinite-dimensiona1BanachspaceX．Ifforevery~ER+)，a)isacompactoperatoronX，thenacannotbehypercycle．Keywords：Banachspace；hypercycle~compactoperator；spectrum1预备知识本文所使用的空间为无限维可分的复Banach空间．称Banach空间x上的一个线性算子T是超循环的，如果存在向量xfX使得{z}∈在X稠密．1969年Rolewicz[1]给出了第一个超循环

4、的例子，同时指出在有限维的空间中不存在超循环的线性算子．1982年，KitaiE。]证明了下面的结果，它给出了可分复Banach空间上的紧算子不可能是超循环的．Kitai标准：设x是一个无限维可分的复Banach空间，T：x—x是x上的一个紧算子，那么T不可能是超循环的．最近在拓扑动力系统领域内有许多关于映射高秩作用(即或R作用)的结果出现．[3]受到这些结果的启发，我们提出下面的问题：无限维可分的Banach空间上存在由紧算子生成的超循环R作用吗?为了使问题更加明确，首先来回顾几个相关的定义．设X是一个Bana

5、ch空间，B(x)是空间x上所有有界线性算子所成的集合，那么在算子的复合运算下，B(X)是一个半群．设S是一个抽象半群，称半群同态a：S—B(X)是S在X上的一个线性作用，如果存在某个z∈X使得轨道Orb(a，z)一{a(s)x：S∈S)在x稠密，此时X称为半群同态a的一个超循环向量，并称作用a是超循环的，更多的结果见文献[4]．设R表示R+的次直积，那么在向量加法运算下，R是一个可交换的半群．在下一节中，作为Kitai结果的推广，我们将证明下面的定理．定理设a：R---~B(X)是无限维Banach空间x上R的

6、一个线性作用．如果对每个fir＼『1j)，a()是x上的一个紧算子，那么a不可能是超循环的．收稿日期：2014—06—03修回日期：2014-07—10基金项目：安徽省教育厅自然科学基金项目(KJ2012Z340)、合肥学院重点建设学科(2O14xKO8)资助．作者简介：姚玉武(197O一)，男，安徽六安人，合肥学院数学与物理系副教授；研究方向：拓扑动力系统．2合肥学院学报(自然科学版)第24卷2定理证明设e是R，1≤≤的第i个坐标基向量，并且===a()，则T，丁2，⋯，是X上两两可交换的紧算子．设以是算子丁。

7、的谱，A一{EA：≥1)，1≤≤，z．由于是紧算子，因此以是一个有限集．假设A-二．1，，⋯，)，并且对任意1≤≤，1≤。，设v(i，)一{IzEX：(Ti—，)mx一0，对某个自然数mEN)，由于T是紧算子，且它们是两两可交换的，因此每个v(i，J)也是X的有限维的T一不变子空间，这里1≤志≤．这样，子空间V===spanc(Ul≤，1Vi，J)也是所有(1≤愚≤)的共同有限维不变子空间．因此，每个Ti自然地诱导了一个有界线性算子～．．：X／—X／V，z+Vl一(z)+V，VzEX．显然，是一个紧算子，并且如果

8、我们设是T～i的谱，则有c{~EC：<1)．易知，由亍，亍2，⋯，生成的半群§也是超循环的．由的定义及口(R+n)的两两可交换性，是。(R+n)一不变的．这样诱导了一个超循环作用在：R一B(X／V)，满足对任意fY=o，a(D在X／上是紧的．下面将证明对任意1≤≤，算子的谱集仅包含0．如果不然，不妨设≠o是亍的一个谱点．由于亍是紧算子，因此是它的一个特征值．此外，也是亍的