分段函数的光滑方法及其在曲线拟合中的应用

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1、西南民族大学学报·自然科学版第33卷第3期Jun.2007___________________________________________________________________JournalofSouthwestUniversityforNationalities⋅NaturalScienceEdition文章编号：1003-2843(2007)03-0486-05分段函数的光滑方法及其在曲线拟合中的应用张兴元(西南交通大学峨眉校区，四川峨眉614202)摘要:在分析复杂实验数据时，常采用分段曲线拟合方法.利用此方法在段内可以实现

2、最佳逼近，但在段边界上却可能不满足连续性和可导性.为了克服这种现象，本文提出了一种分段函数的光滑算法，并给出了相应的误差分析.最后，给出了该方法在分段曲线拟合中的应用方法以及凸轮实验数据自动分段拟合的应用例子.关键词:分段函数;曲线拟合;函数光滑中图分类号:O174文献标识码:A[1~5]在分析复杂实验数据时，常采用分段曲线拟合方法，拟合结果在段内可以实现最佳逼近，但在段边界上却可能不满足连续性和可导性.为了克服这种缺陷，文献[3，4]采采取了在分段拟合时添加连续和可导条件；文献[5]采用的方法是将分段的区间分别向左和右延拓一个型值点，并使其在分

3、段点上满足插值条件.考虑区间[a，b]上分段函数f(x)，分段点为：axx≤<<<="xb.f(x)在每个小区间上k阶连续可导，即01nkkf(x)∈Cxx(,)，在x处最高只有kk(0≤≤k)阶导数，记为f(x)∈Ci[]x，且当kj+≤≤1k时，ii+1iiiii()jjjj++−−()()()fxfxfxfx(),(),(),()存在.利用f(x)的这些信息，可以构造一系列相似结构的分段多项式qx()，0iinik使得g()xf=+()x∑qxCa()∈[,]b，并且希望qx()只引起fx()在点x及其附近的值发生微小变化，而其它的iii点

4、却不发生变化，并且能够改善x的可导性.i1基本结果⎛⎞nnn−ii[6]由于Bernstein基函数Bx()=−=(1xxi),0,1,...,n在端点x=0,1处具有好的性质，首先想到它并曾i⎜⎟⎝⎠i⎛⎞nn试验将qx()直接取为Bx()，但效果很差，经分析后认为是n的不易确定以及较大造成的.为了定义qx()，ii⎜⎟i⎝⎠i先定义下面一组多项式：设kN∈,定义[0,1]上的多项式集合B=={ϕψ(),xx()

5、jk0,1,..,}，jj1jj+1其中ϕ()x=−xx(1)，ψϕ()x=−(1)x.jjjj!n多项式ϕψ(),()xx在端点x

6、=0,1处有与B()x相似的性质.jjj()ss()()ss()s性质1当0≤≤sj时，ϕδ(0)==,ϕ(1)0，ψ(0)==0,ψδ(1)(1)−，jj,sjjjj,s其中δ为Kronecker记号.j,s___________________________收稿日期：2007-02-05作者简介：张兴元(1971-),男,西南交通大学峨眉校区讲师.___________________________________________________________________第3期张兴元：分段函数的光滑方法及其在曲线拟合中的应用487证

7、明只需要对ϕψ(),()xx逐次求导即可.jj又设Pa([,])b表示[a,b]上的次数小于等于2k+1的多项式全体，按照多项式的加法和数乘运算，21k+Pa([,])b构成一个2k+2维线性空间，并有如下基本定理.21k+定理1(i)B=ϕ{(),xxψ()

8、jk=0,1,..,}构成P([0,1])的一组基；jj21k+(ii)B=={ϕα(()),xxψα(())

9、jk0,1,..,}构成Pa([,])b的一组基，αjj21k+xa−其中α()x==,hba−，h证明(i)由于BP⊂([0,1]),dimP(([0,1]))=cardB()

10、并且B是线性无关的，因此21k+21k+B=={ϕψ(),xx():jk0,1,..,}构成P([0,1])的一组基.jj21k+(ii)由于B⊂Pa([,])b,dimP(([,]))ab=cardB()并且B线性无关的，因此α21k+21k+ααB=={(()),(()ϕαxxψα)

11、0jk,1,..,}构成Pa([,])b的一组基.αjj21k+由定理1，对于任意p()xPa∈([,])b，p()x可由B线性表示为：21k+αkp()xcx=+∈∑(jjϕα(())dxjjψα(())),x[,]ab.(1)sj=0k记psj()xcx=+

12、<∑(ϕαjj(())dxψαj(())),sk，则p()xpx=+sj()∑(cϕαjj(())xd+ψαj(()))xj=0js=+