（浙江专用）高考数学导数及其应用2第2讲导数在研究函数中的应用2第2课时导数与函数的极值、最值教学案.docx

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1、第2课时　导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极

2、大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)(3)

3、函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)(4)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√[教材衍化]1．(选修2－2P28例4改编)设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：选D.f′(x)＝－＋＝(x>0)，当02时，f′(x)>0，所以x＝2为f(x)的极小值点．2．(选修2－2P30例5改编)函数y＝x＋2cosx

4、在区间上的最大值是________．解析：因为y′＝1－2sinx，所以当x∈时，y′>0；当x∈时，y′<0.所以当x＝时，ymax＝＋.答案：＋[易错纠偏](1)原函数与导函数的关系不清致误；(2)极值点存在的条件不清致误．1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点解析：选C.导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点

5、，第二个与第四个是极小值点．2．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．解析：因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.因为函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，所以方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，因为当x>0时，－ex<－1，所以a＝－ex<－1.答案：(－∞，－1)　　　　　　用导数解决函数的极值问题(高频考点)用导数解决函数的极值问题是每年高考的亮点，既有选择题，填空题，也有解答题，难度偏大．主要命题角度有：(1)根据图象判断函数的极值；(2)求函数的极值

6、；(3)已知函数的极值求参数．角度一　根据图象判断函数的极值设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【解析】　由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时f′(x)>0；当－2

7、x<2时，－1<1－x<0，此时f′(x)<0；当x>2时，1－x<－1，此时f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．【答案】　D角度二　求函数的极值已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．【解】　(1)当a＝时，f(x)＝lnx－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x(0，2)2(2，＋

8、∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值．(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点；当a>0时，当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，故函数f(x)在x＝处有极大值．综上所