（浙江专用）高考数学导数及其应用2第2讲导数在研究函数中的应用1第1课时导数与函数的单调性教学案.docx

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1、第1课时　导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数[提醒]　(1)利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；(2)对函数划分单调区间时，需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点；(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么单调区间之间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接；

2、(4)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√[教材衍化]1．(选修2－2P32A组T4改编)如图是函数y＝f

3、(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数B．在区间(1，3)上f(x)是减函数C．在区间(4，5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值解析：选C.在(4，5)上f′(x)>0恒成立，所以f(x)是增函数．2．(选修2－2P26练习T1(2)改编)函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.答案：(0，＋∞)[

4、易错纠偏]忽视函数的定义域.函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．解析：由f′(x)＝1－<0，得>1，即x<1，又x>0，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)．答案：(0，1)　　　　　　利用导数判断或证明函数的单调性讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．【解】　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③

5、当00，故f(x)在(0,)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．　　(2020·温州模拟)设函数f(x)＝xln(ax)(a＞0)．设F(x)＝f(1)x2＋f′(x)，讨论函数F(x)的单调性．解：f′(x)＝ln(ax)＋1，所以F(x)＝(lna)x2＋ln(ax)＋1，函数F(x)的定义域为(0，＋∞)，F′(x)＝(lna)x＋＝.①当lna≥0，即a≥1时，恒有F′(x)＞0，

6、函数F(x)在(0，＋∞)上是增函数；②当lna＜0，即0＜a＜1时，令F′(x)＞0，得(lna)x2＋1＞0，解得0＜x＜；令F′(x)＜0，得(lna)x2＋1＜0，解得x＞.所以函数F(x)在上为增函数，在上为减函数．　　　　　　求函数的单调区间(1)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　　)A．(－1，1)　　　　　　　　B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)(2)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．【解】　(1)选B.y＝x2－lnx

7、，y′＝x－＝＝(x>0)．令y′<0，得00，即a<1时，令f′(x)＝0，解得x1＝＝－1－，x2＝－1＋，令f′(x)>0，解得x<－1－或x>－1＋；令f′(x)<0，解得－1－

8、)．综上所述：当a≥1时，f(x)在R上单调递增；当a<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－1－，－1＋)．　1．已知函数f(x)＝.则函数y＝f(x)在x∈(m，＋∞)上的单调递减区间为________，单调递增区间为________．解析：f′(x)＝＝，当x∈(m，m＋1)时，f′(x)＜0，当x∈(m＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(m，m＋1)上单调递减，在(m＋1，＋∞)上单调递增．答案：(m，m＋1)　(m＋1